Sejam F: R^3 R^2 e G: R^3 R^2 transformações lineares definidas por F(x, y, z)= (x+y, z) e G(x, y, z)=(x, y-z). Determine as seguintes transformações lineares de R^3 em R^2 :
2 F-3 G

Passo 1

O enunciado nos dá as transformações lineares
;FcolonR^3toR^2 com F(x,y,z)=(x+y,;z)
e
;GcolonR^3toR^2 com G(x,y,z)=(x,;y-z),
e pede a combinação linear 2F-3G.
Como soma e escala de transformações lineares continuam lineares, basta calcular 2F, 3G e subtrair componente a componente.

Passo 2

Calcular 2F.
Para (x,y,z) temos
2F(x,y,z)=2,(x+y,;z)=(2x+2y,;2z)

Passo 3

Calcular 3G.
Para (x,y,z) temos
3G(x,y,z)=3,(x,;y-z)=(3x,;3y-3z)

Passo 4

Agora fazemos
(2F-3G)(x,y,z) =2F(x,y,z)-3G(x,y,z) =(2x+2y,;2z)-(3x,;3y-3z)
Subtraindo componente a componente e simplificando,
(2x+2y-3x,;2z-(3y-3z)) =(-x+2y,;-3y+5z)

Resposta

(2F-3G)(x,y,z)=l(-x+2y,;-3y+5zr)

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