Quais dos seguintes conjuntos W abaixo sāo subespaços do $R^{3}.
R^3 , com , com

Passo 1

O enunciado define
W=(x,y,z)inR^3mid a,x + b,y + c,z = 0,
com a,b,cinR dados.
O conteúdo aqui é reconhecimento de subespaço: devemos verificar se W é não vazio, e se é fechado sob soma e produto escalar, ou então usar que W é o núcleo de uma aplicação linear.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio e contém o vetor nulo.
Substituindo (x,y,z)=(0,0,0) na equação, temos
acdot 0 + bcdot 0 + ccdot 0 = 0,
logo (0,0,0)in W.

Passo 3

Verificamos fechamento sob soma.
Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em W. Então
a,x1 + b,y1 + c,z1 = 0 e a,x2 + b,y2 + c,z2 = 0
Para u+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) vale
a(x1+x2) + b(y1+y2) + c(z1+z2) = (a,x1+b,y1+c,z1) + (a,x2+b,y2+c,z2) = 0 + 0 = 0,
portanto u+vin W.

Passo 4

Verificamos fechamento sob produto escalar.
Se u=(x,y,z)in W e lambdainR, então
a,x + b,y + c,z = 0
Para lambda,u=(lambda x,lambda y,lambda z) temos
a(lambda x) + b(lambda y) + c(lambda z) = lambda,(a,x+b,y+c,z) = lambdacdot 0 = 0,
logo lambdauin W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e produto escalar, concluímos que W é subespaço de R^3. Alternativamente, W é exatamente o núcleo da forma linear
f:R^3toR, f(x,y,z)=a,x+b,y+c,z,
e o núcleo de toda aplicação linear é subespaço.

Resposta

O conjunto
W=(x,y,z)inR^3mid a,x+b,y+c,z=0
é um subespaço de R^3 para quaisquer a,b,cinR.

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