Quais dos seguintes conjuntos
abaixo sāo subespaços do $R^{3}.
, com
Passo 1
O enunciado define
com
dados.
O conteúdo aqui é reconhecimento de subespaço: devemos verificar se é não vazio, e se é fechado sob soma e produto escalar, ou então usar que
é o núcleo de uma aplicação linear.
O conteúdo aqui é reconhecimento de subespaço: devemos verificar se
Passo 2
Mostramos que
não é vazio e contém o vetor nulo.
Substituindo na equação, temos
Substituindo
logo
.
Passo 3
Verificamos fechamento sob soma.
Sejam e
em
. Então
Sejam
Para
vale
portanto
.
Passo 4
Verificamos fechamento sob produto escalar.
Se e
, então
Se
Para
temos
logo
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e produto escalar, concluímos que
é subespaço de
. Alternativamente,
é exatamente o núcleo da forma linear
e o núcleo de toda aplicação linear é subespaço.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
para quaisquer
.