Q1: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+2 x_{3}-2 x_{4}\right., \left.-x_{1}+2 x_{2}-4 x_{3}+x_{4}, \quad-x_{1}+2 x_{2}-5 x_{3}+3 x_{4}\right). A dimensão da imagem de T é:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T definida em termos das coordenadas \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) e pede a dimensão da imagem de T. As informações fornecidas são:
A pergunta é: qual é a dimensão do subespaço imagem de T (ou seja, \dim(\operatorname{Im} T))? Não há outras perguntas.
Passo 2
Vamos escrever a matriz A que representa T nas bases canônicas (cada coluna corresponde à imagem de um vetor da base canônica de \mathbb{R}^{4}). Pegando os coeficientes das componentes dadas no enunciado, obtemos a matriz 3\times4
(Expliquei: cada coluna é formada pelos coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} nas três componentes de T.)]
Passo 3
Conceito importante: a dimensão da imagem de T é igual ao posto (rank) da matriz A. O posto é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Para encontrar o posto, vamos reduzir A por operações elementares sobre linhas (eliminação de Gauss) e contar o número de linhas não nulas na forma escalonada. Operações elementares de linha não mudam o espaço gerado pelas linhas (nem o posto).
Passo 4
Começamos a eliminação de Gauss. Escrevo A e vamos usar pivot na primeira linha:
Na eliminação de Gauss chegamos a uma forma triangular onde cada linha não nula tem um primeiro elemento não nulo mais à direita do primeiro elemento não nulo da linha anterior — isto indica que as três linhas são linearmente independentes. Portanto o posto (número de linhas não nulas) é 3.
Passo 7
Conclusão e interpretação: o posto de A é 3, logo \dim(\operatorname{Im} T)=3. Note que é consistente com uma observação rápida: A é 3\times4, então o posto máximo possível é \min(3,4)=3; atingimos esse máximo, ou seja, a imagem tem dimensão completa em \mathbb{R}^{3} (a imagem é todo \mathbb{R}^{3}).