Q1: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+2 x_{3}-2 x_{4}\right., \left.-x_{1}+2 x_{2}-4 x_{3}+x_{4}, \quad-x_{1}+2 x_{2}-5 x_{3}+3 x_{4}\right). A dimensão da imagem de T é:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T definida em termos das coordenadas \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) e pede a dimensão da imagem de T. As informações fornecidas são:
T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\bigl(x_{1}+x_{2}+2x_{3}-2x_{4},\; -x_{1}+2x_{2}-4x_{3}+x_{4},\; -x_{1}+2x_{2}-5x_{3}+3x_{4}\bigr).
A pergunta é: qual é a dimensão do subespaço imagem de T (ou seja, \dim(\operatorname{Im} T))? Não há outras perguntas.

Passo 2

Vamos escrever a matriz A que representa T nas bases canônicas (cada coluna corresponde à imagem de um vetor da base canônica de \mathbb{R}^{4}). Pegando os coeficientes das componentes dadas no enunciado, obtemos a matriz 3\times4
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -2\\[4pt] -1 & 2 & -4 & 1\\[4pt] -1 & 2 & -5 & 3 \end{pmatrix}.
(Expliquei: cada coluna é formada pelos coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} nas três componentes de T.)]

Passo 3

Conceito importante: a dimensão da imagem de T é igual ao posto (rank) da matriz A. O posto é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Para encontrar o posto, vamos reduzir A por operações elementares sobre linhas (eliminação de Gauss) e contar o número de linhas não nulas na forma escalonada. Operações elementares de linha não mudam o espaço gerado pelas linhas (nem o posto).

Passo 4

Começamos a eliminação de Gauss. Escrevo A e vamos usar pivot na primeira linha:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -2\\[4pt] -1 & 2 & -4 & 1\\[4pt] -1 & 2 & -5 & 3 \end{pmatrix}.
Para zerar os primeiros elementos das linhas 2 e 3, somo a linha 1 a cada uma delas:
R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1},\qquad R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{1}.
Calculando elemento a elemento:
  • Para R_{2}: -1+1=0,\; 2+1=3,\; -4+2=-2,\; 1+(-2)=-1.
  • Para R_{3}: -1+1=0,\; 2+1=3,\; -5+2=-3,\; 3+(-2)=1.
Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -2\\[4pt] 0 & 3 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 3 & -3 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora vamos eliminar o segundo elemento da terceira linha usando a segunda linha como pivot. Faço
R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}.
Calculando: 0-0=0,\; 3-3=0,\; -3-(-2)=-1,\; 1-(-1)=2.
A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -2\\[4pt] 0 & 3 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Observação sobre a forma obtida: temos três linhas não nulas:
(1,\;1,\;2,\;-2),\qquad (0,\;3,\;-2,\;-1),\qquad (0,\;0,\;-1,\;2).
Na eliminação de Gauss chegamos a uma forma triangular onde cada linha não nula tem um primeiro elemento não nulo mais à direita do primeiro elemento não nulo da linha anterior — isto indica que as três linhas são linearmente independentes. Portanto o posto (número de linhas não nulas) é 3.

Passo 7

Conclusão e interpretação: o posto de A é 3, logo \dim(\operatorname{Im} T)=3. Note que é consistente com uma observação rápida: A é 3\times4, então o posto máximo possível é \min(3,4)=3; atingimos esse máximo, ou seja, a imagem tem dimensão completa em \mathbb{R}^{3} (a imagem é todo \mathbb{R}^{3}).

Resposta

(C) 3

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