Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x-y+z,-2 x-y+z,-2 x-y).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T.
A entrada b_{23} vale:
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) -3
(F) -2
(G) -1
(H) 0
Passo 1
O enunciado pede a entrada b_{23} da matriz B que representa a inversa da transformação linear T. As informações dadas são a definição de T sobre vetores (x,y,z):
T(x,y,z)=(-x-y+z,\,-2x-y+z,\,-2x-y).
O que precisamos achar é a matriz B=A^{-1}, onde A é a matriz de T na base canônica, e então ler o elemento na segunda linha e terceira coluna, isto é b_{23}.
Passo 2
Montar a matriz A da transformação T na base canônica. Para isso aplico T nas três bases canônicas:
Explicar o método escolhido para achar A^{-1}. Vou usar eliminação de Gauss-Jordan sobre a matriz aumentada (A\mid I). Isso transforma a parte esquerda em I por operações elementares de linha; as mesmas operações aplicadas a I dão A^{-1}. Esse método é direto, mecânico e adequado para matrizes 3\times3.
Passo 4
Escrever a matriz aumentada inicial e fazer as operações passo a passo (cada operação é uma combinação linear de linhas, válida para obter a inversa):