Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x-y+z,-2 x-y+z,-2 x-y).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T.
A entrada b_{23} vale:
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) -3
(F) -2
(G) -1
(H) 0

Passo 1

O enunciado pede a entrada b_{23} da matriz B que representa a inversa da transformação linear T. As informações dadas são a definição de T sobre vetores (x,y,z):
T(x,y,z)=(-x-y+z,\,-2x-y+z,\,-2x-y).
O que precisamos achar é a matriz B=A^{-1}, onde A é a matriz de T na base canônica, e então ler o elemento na segunda linha e terceira coluna, isto é b_{23}.

Passo 2

Montar a matriz A da transformação T na base canônica. Para isso aplico T nas três bases canônicas:
T(1,0,0)=(-1,-2,-2),\qquad T(0,1,0)=(-1,-1,-1),\qquad T(0,0,1)=(1,1,0).
Colocando essas imagens como colunas de A (porque T(v)=A v com vetores coluna), obtemos
A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\[4pt] -2 & -1 & 1\\[4pt] -2 & -1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Explicar o método escolhido para achar A^{-1}. Vou usar eliminação de Gauss-Jordan sobre a matriz aumentada (A\mid I). Isso transforma a parte esquerda em I por operações elementares de linha; as mesmas operações aplicadas a I dão A^{-1}. Esse método é direto, mecânico e adequado para matrizes 3\times3.

Passo 4

Escrever a matriz aumentada inicial e fazer as operações passo a passo (cada operação é uma combinação linear de linhas, válida para obter a inversa):
\left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -2 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Primeira operação: multiplicar a linha 1 por -1 para obter pivot 1:
R_1\leftarrow -R_1\quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0\\[4pt] -2 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 5

Zerar as entradas abaixo do pivot da coluna 1 usando R_2\leftarrow R_2+2R_1 e R_3\leftarrow R_3+2R_1:
Cálculos:
  • Para R_2: [-2,+(-1),+1]+2[1,1,-1]=[0,1,-1] e do lado direito [0,1,0]+2[-1,0,0]=[-2,1,0].
  • Para R_3: [-2,-1,0]+2[1,1,-1]=[0,1,-2] e do lado direito [0,0,1]+2[-1,0,0]=[-2,0,1].
    Resultado:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 6

Usar R_2 (pivot na coluna 2) para zerar as outras entradas da coluna 2.
Fazer R_1\leftarrow R_1-R_2 e R_3\leftarrow R_3-R_2.
Cálculos:
  • R_1-R_2 = [1,0,0] e do lado direito [-1,0,0]-[-2,1,0]=[1,-1,0].
  • R_3-R_2 = [0,0,-1] e do lado direito [-2,0,1]-[-2,1,0]=[0,-1,1].
    Resultado:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right).]

Passo 7

Resolver a coluna 3: multiplicar R_3 por -1 para ter pivot 1:
R_3\leftarrow -R_3\quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right).
Agora eliminar a entrada -1 em R_2 coluna 3 usando R_2\leftarrow R_2+R_3:
R_2+R_3=[0,1,0]\quad\text{e no lado direito }[-2,1,0]+[0,1,-1]=[-2,2,-1].
A matriz final (forma reduzida) é
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -2 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right).]

Passo 8

Da matriz aumentada final, a parte à direita é A^{-1}. Portanto
B=A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] -2 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
O elemento procurado é b_{23}, que é a entrada da segunda linha, terceira coluna da matriz B. Lendo na matriz acima, b_{23}=-1.]

Resposta

(G) -1

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