Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}\right., \left.-2 x_{1}-5 x_{2}-5 x_{3}-4 x_{4}, \quad x_{1}+3 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3
com
T\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\left(x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+x_{4},\;-2x_{1}-5x_{2}-5x_{3}-4x_{4},\;x_{1}+3x_{2}+3x_{3}+3x_{4}\right).
Pergunta-se qual é a dimensão da imagem de T (ou seja, a dimensão do subespaço em \mathbb{R}^3 formado por todos os vetores T(v)). As alternativas são 0,1,2,3,4.
Informações relevantes dadas:
  • Domínio: \mathbb{R}^4.
  • Contradomínio: \mathbb{R}^3.
  • A imagem de T é um subespaço de \mathbb{R}^3; portanto sua dimensão (o posto) é um inteiro entre 0 e 3.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): associar a T a sua matriz em relação às bases padrão, obter essa matriz A\in\mathbb{R}^{3\times4} e calcular o posto (rank) de A. O posto de A é igual à dimensão da imagem de T. Vou fazer eliminação de Gauss nas linhas para contar quantas linhas independentes (ou pivôs) existem.
Breve explicação do conceito usado:
  • Dada uma matriz A, o posto (rank) é o número máximo de colunas linearmente independentes (igual ao número máximo de linhas independentes). Na prática, ao reduzir a matriz por linhas até obter linhas com pivôs, o número de pivôs é o posto.
  • A dimensão da imagem de uma transformação linear representada por A é exatamente o posto de A.

Passo 3

Escrevendo a matriz A de T na base padrão (cada coluna é a imagem de um vetor-base):
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1\\[4pt] -2 & -5 & -5 & -4\\[4pt] 1 & 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}.
Aqui cada coluna corresponde a T(e_i), mas trabalhar com as linhas é suficiente para achar o posto.]

Passo 4

Aplicar eliminação de Gauss por linhas (vou numerar as linhas como R_1,R_2,R_3).
Matriz inicial:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1\\[4pt] -2 & -5 & -5 & -4\\[4pt] 1 & 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}.
Usar R_1 como pivô na primeira coluna e eliminar abaixo:
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1:
R_2 = (-2,+\!2\cdot1,\; -5+2\cdot2,\; -5+2\cdot2,\; -4+2\cdot1) = (0,\,-1,\,-1,\,-2).
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - R_1:
R_3 = (1-1,\;3-2,\;3-2,\;3-1) = (0,\;1,\;1,\;2).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Continuar a eliminação na segunda coluna: usar a segunda linha como pivô (repare que o elemento -1 em R_2 na coluna 2 é um pivô). Eliminar a entrada em R_3:
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 + R_2:
R_3 = (0+0,\;1+(-1),\;1+(-1),\;2+(-2)) = (0,0,0,0).
A matriz reduzida (por linhas) fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Contagem de pivôs e conclusão:
  • Há pivô na coluna 1 (linha 1) e pivô na coluna 2 (linha 2). A terceira linha ficou nula, não introduz pivô.
  • Portanto o número de pivôs (posto) é 2.
Interpretando: o posto de A é 2, então a dimensão da imagem de T é 2. Note que isso é compatível com o fato de a imagem estar em \mathbb{R}^3 (posto não pode exceder 3).

Resposta

(C) 2

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