Pergunta-se qual é a dimensão da imagem de T (ou seja, a dimensão do subespaço em \mathbb{R}^3 formado por todos os vetores T(v)). As alternativas são 0,1,2,3,4.
Informações relevantes dadas:
Domínio: \mathbb{R}^4.
Contradomínio: \mathbb{R}^3.
A imagem de T é um subespaço de \mathbb{R}^3; portanto sua dimensão (o posto) é um inteiro entre 0 e 3.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): associar a T a sua matriz em relação às bases padrão, obter essa matriz A\in\mathbb{R}^{3\times4} e calcular o posto (rank) de A. O posto de A é igual à dimensão da imagem de T. Vou fazer eliminação de Gauss nas linhas para contar quantas linhas independentes (ou pivôs) existem.
Breve explicação do conceito usado:
Dada uma matriz A, o posto (rank) é o número máximo de colunas linearmente independentes (igual ao número máximo de linhas independentes). Na prática, ao reduzir a matriz por linhas até obter linhas com pivôs, o número de pivôs é o posto.
A dimensão da imagem de uma transformação linear representada por A é exatamente o posto de A.
Passo 3
Escrevendo a matriz A de T na base padrão (cada coluna é a imagem de um vetor-base):
Continuar a eliminação na segunda coluna: usar a segunda linha como pivô (repare que o elemento -1 em R_2 na coluna 2 é um pivô). Eliminar a entrada em R_3:
Há pivô na coluna 1 (linha 1) e pivô na coluna 2 (linha 2). A terceira linha ficou nula, não introduz pivô.
Portanto o número de pivôs (posto) é 2.
Interpretando: o posto de A é 2, então a dimensão da imagem de T é 2. Note que isso é compatível com o fato de a imagem estar em \mathbb{R}^3 (posto não pode exceder 3).