Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+2 y-2 z,-2 x+5 y-5 z, 2 x-3 y+4 z).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T.
A entrada b_{22} vale:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(-x+2y-2z,\,-2x+5y-5z,\,2x-3y+4z).
Pede-se calcular B, a matriz que representa a inversa de T, e em particular obter o valor da entrada b_{22}. O enunciado oferece as alternativas numéricas (0,1,2,3,4,5,6,7) identificadas por letras (A) a (H).

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a matriz A que representa T na base canônica. A ação de T sobre o vetor (x,y,z) corresponde a multiplicar pela matriz cujas colunas são as imagens de (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). Assim,
A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -2\\[4pt] -2 & 5 & -5\\[4pt] 2 & -3 & 4 \end{pmatrix}.
A matriz inversa B que o enunciado pede é exatamente B=A^{-1}.]

Passo 3

Antes de tentar inverter, verificar se A é invertível: calcular o determinante. Uma matriz quadrada tem inversa se, e somente se, \det(A)\neq 0. Usando a fórmula de cofactores pela primeira linha:
\det(A)=a_{11}\begin{vmatrix}5 & -5\\[2pt]-3 & 4\end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix}-2 & -5\\[2pt]2 & 4\end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix}-2 & 5\\[2pt]2 & -3\end{vmatrix}.
Agora calcular cada determinante 2\times2:
\begin{aligned} \begin{vmatrix}5 & -5\\[2pt]-3 & 4\end{vmatrix} &= 5\cdot 4 - (-5)\cdot(-3) = 20-15=5,\\[4pt] \begin{vmatrix}-2 & -5\\[2pt]2 & 4\end{vmatrix} &= (-2)\cdot 4 - (-5)\cdot 2 = -8 -(-10)=2,\\[4pt] \begin{vmatrix}-2 & 5\\[2pt]2 & -3\end{vmatrix} &= (-2)\cdot(-3) - 5\cdot 2 = 6-10=-4. \end{aligned}
Substituindo em \det(A) (lembrando a_{11}=-1, a_{12}=2, a_{13}=-2):
\det(A)=(-1)\cdot 5 - 2\cdot 2 + (-2)\cdot(-4) = -5 -4 +8 = -1.
Como \det(A)=-1\neq 0, A é invertível. Observação útil: como \det(A)=-1, tem-se A^{-1}=-\operatorname{adj}(A) (isto é, a inversa é menos a matriz adjunta).]

Passo 4

Explicar o método escolhido para achar A^{-1}: usar a fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores. Esse método é direto aqui porque \det(A)=-1 simplifica a divisão.
Calcular a matriz de cofatores: para cada posição (i,j) calcular o menor 2\times2 e multiplicar por (-1)^{i+j}.
Calcular menores e cofatores (mostrar todos para ficar bem didático):
  • Para (1,1): menor
M_{11}=\begin{vmatrix}5 & -5\\[2pt]-3 & 4\end{vmatrix}=5,
cofator C_{11}=+M_{11}=5.
  • Para (1,2): menor
M_{12}=\begin{vmatrix}-2 & -5\\[2pt]2 & 4\end{vmatrix}=2,
cofator C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot 2=-2.
  • Para (1,3): menor
M_{13}=\begin{vmatrix}-2 & 5\\[2pt]2 & -3\end{vmatrix}=-4,
cofator C_{13}=+M_{13}=-4.
  • Para (2,1): menor
M_{21}=\begin{vmatrix}2 & -2\\[2pt]-3 & 4\end{vmatrix}=2,
cofator C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot 2=-2.
  • Para (2,2): menor
M_{22}=\begin{vmatrix}-1 & -2\\[2pt]2 & 4\end{vmatrix}=(-1)\cdot 4 - (-2)\cdot 2 = -4 -(-4)=0,
cofator C_{22}=+M_{22}=0.
  • Para (2,3): menor
M_{23}=\begin{vmatrix}-1 & 2\\[2pt]2 & -3\end{vmatrix}=(-1)\cdot(-3)-2\cdot 2=3-4=-1,
cofator C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1\cdot(-1)=1.
  • Para (3,1): menor
M_{31}=\begin{vmatrix}2 & -2\\[2pt]5 & -5\end{vmatrix}=2\cdot(-5)-(-2)\cdot 5=-10-(-10)=0,
cofator C_{31}=+0=0.
  • Para (3,2): menor
M_{32}=\begin{vmatrix}-1 & -2\\[2pt]-2 & -5\end{vmatrix}=(-1)\cdot(-5)-(-2)\cdot(-2)=5-4=1,
cofator C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\cdot 1=-1.
  • Para (3,3): menor
M_{33}=\begin{vmatrix}-1 & 2\\[2pt]-2 & 5\end{vmatrix}=(-1)\cdot 5 - 2\cdot(-2) = -5 -(-4)= -1,
cofator C_{33}=+M_{33}=-1.
Assim a matriz de cofatores é
C=\begin{pmatrix} 5 & -2 & -4\\[4pt] -2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

A adjunta (adjugate) é a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix} 5 & -2 & 0\\[4pt] -2 & 0 & -1\\[4pt] -4 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Como \det(A)=-1, tem-se
A^{-1}=\frac{1}{-1}\operatorname{adj}(A) = -\operatorname{adj}(A).
Portanto
A^{-1}=\begin{pmatrix} -5 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 1\\[4pt] 4 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Esta matriz é B, a matriz que representa T^{-1}.]

Passo 6

Finalmente, ler a entrada pedida: b_{22} é o elemento da segunda linha, segunda coluna de B. Da matriz acima:
b_{22}=0.
Portanto a alternativa correta é a letra que corresponde a 0.

Resposta

(A) 0

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