Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+2 y-2 z,-2 x+5 y-5 z, 2 x-3 y+4 z).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T.
A entrada b_{22} vale:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(-x+2y-2z,\,-2x+5y-5z,\,2x-3y+4z).
Pede-se calcular B, a matriz que representa a inversa de T, e em particular obter o valor da entrada b_{22}. O enunciado oferece as alternativas numéricas (0,1,2,3,4,5,6,7) identificadas por letras (A) a (H).
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a matriz A que representa T na base canônica. A ação de T sobre o vetor (x,y,z) corresponde a multiplicar pela matriz cujas colunas são as imagens de (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). Assim,
A matriz inversa B que o enunciado pede é exatamente B=A^{-1}.]
Passo 3
Antes de tentar inverter, verificar se A é invertível: calcular o determinante. Uma matriz quadrada tem inversa se, e somente se, \det(A)\neq 0. Usando a fórmula de cofactores pela primeira linha:
Como \det(A)=-1\neq 0, A é invertível. Observação útil: como \det(A)=-1, tem-se A^{-1}=-\operatorname{adj}(A) (isto é, a inversa é menos a matriz adjunta).]
Passo 4
Explicar o método escolhido para achar A^{-1}: usar a fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores. Esse método é direto aqui porque \det(A)=-1 simplifica a divisão.
Calcular a matriz de cofatores: para cada posição (i,j) calcular o menor 2\times2 e multiplicar por (-1)^{i+j}.
Calcular menores e cofatores (mostrar todos para ficar bem didático):