Q5: Calcule a matriz
, sabendo que:
-
,
- Núcleo
e
- Imagem
.
A entrada
vale:
(A) 16
(B) 17
(C) 18
(D) 19
(E) 20
(F) 21
(G) 22
(H) 23
(A) 16
(B) 17
(C) 18
(D) 19
(E) 20
(F) 21
(G) 22
(H) 23
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar claramente o que foi dado):
-
. -
. -
.
A pergunta: qual é o valor de
? As alternativas são (A) 16, (B) 17, (C) 18, (D) 19, (E) 20, (F) 21, (G) 22, (H) 23.
Passo 2
Entendendo a estrutura que essas informações implicam (ideia principal, sem ainda resolver):
- Como
é um espaço de dimensão 1 (é o span de um vetor), a matriz tem posto (rank) igual a 1. - Uma matriz de posto 1 tem todas as suas colunas múltiplos de um mesmo vetor. Como a imagem é
, cada coluna de é um múltiplo escalar do vetor .
Vou usar isso para escrever as colunas de.
Passo 3
Parametrização das colunas de
:
- Denote
. - Escrevo as colunas de
como e cada é vezes , ou seja
- Em forma matricial,
pode ser escrita como produto de coluna por linha (produto externo):
onde
é a linha que contém os escalares que geram as colunas.
Passo 4
Como isso determina o núcleo:
- Para qualquer vetor
,
- Portanto
se, e somente se, . Ou seja, o núcleo de é exatamente o subespaço ortogonal a :
- Como o enunciado dá uma base do núcleo, os vetores
e devem satisfazer e .
Vou escrever essas duas equações em
.
Passo 5
Formular e resolver o sistema para
:
- Das condições do núcleo:
- Simplificando as equações:
- Substituindo
em dá
- Logo
é proporcional a . Escrevo
Passo 6
Usar a condição
para fixar o fator:
- A entrada
é a primeira componente da primeira coluna . - Como
e , temos
- Pelo enunciado
, então . - Usando
obtemos
- E então
.
Passo 7
Determinar a terceira coluna e a entrada
:
- Lembrando
e , a terceira coluna é
- Portanto a entrada
(terceira linha, terceira coluna) é a terceira componente de , que vale .
Resposta
(C)