Q5: Calcule a matriz A, sabendo que:
  • a_{11}=9,
  • Núcleo A=\operatorname{span}\{(-1,-3,0),(3,0,3)\} e
  • Imagem A=\operatorname{span}\{(1,-2,-2)\}.
A entrada a_{33} vale:
(A) 16
(B) 17
(C) 18
(D) 19
(E) 20
(F) 21
(G) 22
(H) 23

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar claramente o que foi dado):
  • a_{11}=9.
  • \operatorname{Núcleo} A=\operatorname{span}\{(-1,-3,0),(3,0,3)\}ú.
  • \operatorname{Imagem} A=\operatorname{span}\{(1,-2,-2)\}.
A pergunta: qual é o valor de a_{33}? As alternativas são (A) 16, (B) 17, (C) 18, (D) 19, (E) 20, (F) 21, (G) 22, (H) 23.

Passo 2

Entendendo a estrutura que essas informações implicam (ideia principal, sem ainda resolver):
  • Como \operatorname{Imagem} A é um espaço de dimensão 1 (é o span de um vetor), a matriz A tem posto (rank) igual a 1.
  • Uma matriz de posto 1 tem todas as suas colunas múltiplos de um mesmo vetor. Como a imagem é \operatorname{span}\{(1,-2,-2)\}, cada coluna de A é um múltiplo escalar do vetor u=\,(1,-2,-2).
    Vou usar isso para escrever as colunas de A.

Passo 3

Parametrização das colunas de A:
  • Denote u=\,(1,-2,-2).
  • Escrevo as colunas de A como c_1,c_2,c_3 e cada c_j é x_j vezes u, ou seja
c_j = x_j\,u,\qquad j=1,2,3.
  • Em forma matricial, A pode ser escrita como produto de coluna por linha (produto externo):
A = u\;r,
onde r=(x_1,x_2,x_3) é a linha que contém os escalares que geram as colunas.

Passo 4

Como isso determina o núcleo:
  • Para qualquer vetor v\in\mathbb{R}^3,
A v = u\,(r\cdot v).
  • Portanto Av=0 se, e somente se, r\cdot v = 0. Ou seja, o núcleo de A é exatamente o subespaço ortogonal a r:
\operatorname{Ker} A = \{v\in\mathbb{R}^3 \mid r\cdot v = 0\}.
  • Como o enunciado dá uma base do núcleo, os vetores (-1,-3,0) e (3,0,3) devem satisfazer r\cdot(-1,-3,0)=0 e r\cdot(3,0,3)=0.
Vou escrever essas duas equações em x_1,x_2,x_3.

Passo 5

Formular e resolver o sistema para r=(x_1,x_2,x_3):
  • Das condições do núcleo:
r\cdot(-1,-3,0)= -x_1 -3x_2 +0\cdot x_3 = 0,
r\cdot(3,0,3)= 3x_1 +0\cdot x_2 +3x_3 = 0.
  • Simplificando as equações:
-x_1 -3x_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -3x_2,
3x_1 +3x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 + x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3 = -x_1.
  • Substituindo x_1=-3x_2 em x_3=-x_1
x_3 = -(-3x_2) = 3x_2.
  • Logo r é proporcional a (-3,1,3). Escrevo
r = x_2\;(-3,1,3).

Passo 6

Usar a condição a_{11}=9 para fixar o fator:
  • A entrada a_{11} é a primeira componente da primeira coluna c_1.
  • Como c_1 = x_1\,u e u_1=1, temos
a_{11} = (c_1)_1 = x_1\cdot 1 = x_1.
  • Pelo enunciado a_{11}=9, então x_1=9.
  • Usando x_1=-3x_2 obtemos
9 = -3x_2 \quad\Rightarrow\quad x_2 = -3.
  • E então x_3 = 3x_2 = 3\cdot(-3) = -9.

Passo 7

Determinar a terceira coluna e a entrada a_{33}:
  • Lembrando u=(1,-2,-2) e x_3=-9, a terceira coluna é
c_3 = x_3\,u = -9\,(1,-2,-2) = (-9,18,18).
  • Portanto a entrada a_{33} (terceira linha, terceira coluna) é a terceira componente de c_3, que vale 18.

Resposta

(C) 18

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