Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,-2)=(1,2,1) e T(3,-5)=(2,3,1).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) -3
(F) -2
(G) -1
(H) 0

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} e informa dois valores:
  • T(1,-2)=(1,2,1).
  • T(3,-5)=(2,3,1).
O que é pedido:
  • Determinar a matriz A tal que T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}.
  • Em particular, encontrar a entrada a_{21} (segunda linha, primeira coluna) da matriz A.
    Nada mais é fornecido.

Passo 2

Vamos representar a matriz A em termos de suas colunas. Como A é uma matriz 3\times2, escrevemos
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\\[4pt] a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{1} & c_{2} \end{pmatrix},
onde c_{1}=\begin{pmatrix}a_{11}\a_{21}\a_{31}\end{pmatrix} é a primeira coluna e c_{2}=\begin{pmatrix}a_{12}\a_{22}\a_{32}\end{pmatrix} é a segunda coluna.
Importante: para qualquer (x,y) vale
T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}=x\,c_{1}+y\,c_{2}.
Isto significa que conhecer c_{1} e c_{2} determina completamente A.]

Passo 3

Usamos as informações dadas sobre T para obter equações para c_{1} e c_{2}. Aplicando a identidade anterior aos vetores fornecidos:
T(1,-2)=1\cdot c_{1}+(-2)\cdot c_{2}=c_{1}-2c_{2}=(1,2,1)^{T},
T(3,-5)=3\cdot c_{1}+(-5)\cdot c_{2}=3c_{1}-5c_{2}=(2,3,1)^{T}.
Temos, portanto, o sistema matricial em \mathbb{R}^{3}:
\begin{cases} c_{1}-2c_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\\[6pt] 3c_{1}-5c_{2}=\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix}. \end{cases}]

Passo 4

Resolvemos o sistema componente a componente (cada linha dá um sistema 2×2 para as componentes de c_{1} e c_{2}). Denotando
c_{1}=\begin{pmatrix}p\u\r\end{pmatrix},\qquad c_{2}=\begin{pmatrix}q\v\s\end{pmatrix},
as equações vetoriais viram, componente a componente:
primeira componente:
\begin{cases} p-2q=1,\\[4pt] 3p-5q=2, \end{cases}
segunda componente:
\begin{cases} u-2v=2,\\[4pt] 3u-5v=3, \end{cases}
terceira componente:
\begin{cases} r-2s=1,\\[4pt] 3r-5s=1. \end{cases}]

Passo 5

Vamos resolver cada par 2×2 por substituição (método simples e direto). Primeira componente:
da primeira equação p=1+2q. Substituindo na segunda:
3(1+2q)-5q=2 \quad\Rightarrow\quad 3+6q-5q=2 \quad\Rightarrow\quad q=-1.
Então p=1+2(-1)=-1.

Passo 6

Segunda componente (é aqui que está a_{21}=u; vamos calcular com cuidado):
da primeira equação u=2+2v. Substituindo na segunda:
3(2+2v)-5v=3 \quad\Rightarrow\quad 6+6v-5v=3 \quad\Rightarrow\quad 6+v=3 \quad\Rightarrow\quad v=-3.
Então
u=2+2(-3)=2-6=-4.
Portanto a_{21}=u=-4.

Passo 7

Terceira componente (para completar a matriz): da primeira equação r=1+2s. Substituindo na segunda:
3(1+2s)-5s=1 \quad\Rightarrow\quad 3+6s-5s=1 \quad\Rightarrow\quad 3+s=1 \quad\Rightarrow\quad s=-2.
Então r=1+2(-2)=1-4=-3.

Passo 8

Reunindo as colunas calculadas:
c_{1}=\begin{pmatrix}-1\\\ -4\\\ -3\end{pmatrix},\qquad c_{2}=\begin{pmatrix}-1\\\ -3\\\ -2\end{pmatrix}.
Logo a matriz A é
A=\begin{pmatrix} -1 & -1\\[4pt] -4 & -3\\[4pt] -3 & -2 \end{pmatrix}.
Confirmando: a_{21} é a entrada na segunda linha, primeira coluna e vale -4.]

Resposta

(D) -4

Exercícios relacionados