Q3: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}\right., \left.-x_{1}-3 x_{2}-2 x_{3}+2 x_{4}, \quad-x_{1}+3 x_{2}+x_{3}-x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3
por
T(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\bigl(x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4},\,-x_{1}-3x_{2}-2x_{3}+2x_{4},\,-x_{1}+3x_{2}+x_{3}-x_{4}\bigr).
Para saber a dimensão da imagem de T (ou seja, o posto de T), vamos montar a matriz associada e calcular seu posto.

Passo 2

A matriz A que representa T na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\\\ -1 & -3 & -2 & 2 \\\\ -1 & 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Aplicamos operações elementares de linha para escalonar:
  1. L_2 \leftarrow L_2 + L_1 e L_3 \leftarrow L_3 + L_1. Isso dá
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -2 & -1 & 1 \\\\ 0 & 4 & 2 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Observamos que a terceira linha é múltiplo da segunda:
(0\;4\;2\;-2) = -2\,(0\;-2\;-1\;1).
Logo há apenas duas linhas independentes, de modo que o posto de A é 2. Assim,
\dim(\mathrm{Im}\,T)=2.

Resposta

(B) 2

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