Q6:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Um sistema linear não-homogêneo em 11 variáveis com 11 equações tem solução única.
II - Um sistema linear homogêneo em 12 variáveis com 15 equações pode ter solução única.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Um sistema linear não-homogêneo em 11 variáveis com 11 equações tem solução única.
II - Um sistema linear homogêneo em 12 variáveis com 15 equações pode ter solução única.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmações sobre sistemas lineares:
I – um sistema não-homogêneo com variáveis e
equações tem solução única;
II – um sistema homogêneo com variáveis e
equações pode ter solução única.
O conteúdo aqui é teoria de exist^encia e unicidade de solu\c{c}~oes de sistemas lineares, que depende do posto (rank) da matriz de coeficientes.
I – um sistema não-homogêneo com
II – um sistema homogêneo com
O conteúdo aqui é teoria de exist^encia e unicidade de solu\c{c}~oes de sistemas lineares, que depende do posto (rank) da matriz de coeficientes.
Passo 2
Analisando I: um sistema não-homogêneo quadrado de tamanho
tem solução única somente se a matriz de coeficientes for invertível, isto é, se
. Mas não há garantia de invertibilidade em todo sistema quadrado; pode ser singular (sem solução ou com infinitas soluções). Logo, I nem sempre é verdadeira.
Passo 3
Analisando II: um sistema homogêneo
com
variáveis e
equações tem sempre a solução trivial
. Para que seja a única solução, não pode haver variáveis livres, ou seja, o posto da matriz de coeficientes deve ser igual a
. Como
, é possível ter
, garantindo unicidade da solução trivial. Portanto, II pode ser verdadeira.
Passo 4
Concluímos que apenas a afirmativa II é verdadeira.
Resposta
(A) Apenas II é verdadeira.