Q6:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Um sistema linear não-homogêneo em 11 variáveis com 11 equações tem solução única.
II - Um sistema linear homogêneo em 12 variáveis com 15 equações pode ter solução única.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmações sobre sistemas lineares:
I – um sistema não-homogêneo com 11 variáveis e 11 equações tem solução única;
II – um sistema homogêneo com 12 variáveis e 15 equações pode ter solução única.
O conteúdo aqui é teoria de exist^encia e unicidade de solu\c{c}~oes de sistemas lineares, que depende do posto (rank) da matriz de coeficientes.

Passo 2

Analisando I: um sistema não-homogêneo quadrado de tamanho 11\times11 tem solução única somente se a matriz de coeficientes for invertível, isto é, se \det\neq0. Mas não há garantia de invertibilidade em todo sistema quadrado; pode ser singular (sem solução ou com infinitas soluções). Logo, I nem sempre é verdadeira.

Passo 3

Analisando II: um sistema homogêneo \mathbf A\mathbf x=\mathbf0 com n=12 variáveis e m=15 equações tem sempre a solução trivial \mathbf x=\mathbf0. Para que seja a única solução, não pode haver variáveis livres, ou seja, o posto da matriz de coeficientes deve ser igual a 12. Como \mathrm{rank}(\mathbf A)\le\min(m,n)=12, é possível ter \mathrm{rank}(\mathbf A)=12, garantindo unicidade da solução trivial. Portanto, II pode ser verdadeira.

Passo 4

Concluímos que apenas a afirmativa II é verdadeira.

Resposta

(A) Apenas II é verdadeira.

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