Q7:
Em qual dos sistemas lineares abaixo (nas variáveis x, y e z ) o conjunto-solução tem dimensão 1 ?
(A) \left\{\begin{array}{c}8 x+24 y+4 z=12, \\\\ 6 x+18 y+3 z=9 .\end{array}\right.
(B) \left\{\begin{aligned} 24 x+4 y+12 z & =8, \\\\ 18 x+3 y+9 z & =6 .\end{aligned}\right.
(C) \left\{\begin{aligned} 2 x+6 y+z & =3, \\\\ 4 y+5 z & =8, \\\ z & =7 .\end{aligned}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}2 x+6 y+z=3, \\\\ 10 x+30 y+5 z=15, \\\\ 4 y+5 z=8\end{array}\right.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado apresenta quatro sistemas lineares em (x,y,z) e pede em qual deles o conjunto-solução é uma reta (dimensão 1). O conteúdo envolve análise de posto (rank) da matriz do sistema e uso da fórmula
\dim(\text{solução}) = n - \rank(A)
para n=3.

Passo 2

Lembrando que, se o sistema for compatível, a dimensão do espaço afim de soluções é
\dim(\text{solução}) = 3 - \rank(A).
Para obter dimensão 1, precisamos de \rank(A)=2.

Passo 3

Analisando (A):
\begin{cases} 8x+24y+4z=12,\\\\ 6x+18y+3z=9. \end{cases}
A segunda equação é \tfrac34 da primeira, logo há apenas 1 equação independente e \rank(A)=1. Assim \dim(\text{solução})=3-1=2çã.

Passo 4

Analisando (B):
\begin{cases} 24x+4y+12z=8,\\\\ 18x+3y+9z=6. \end{cases}
De novo a segunda é \tfrac34 da primeira, dando \rank(A)=1 e \dim(\text{solução})=2çã.

Passo 5

Analisando (C):
\begin{aligned} 2x+6y+z&=3,\\\\ 4y+5z&=8,\\\ z&=7. \end{aligned}
Dessa forma z, y e x ficam todos determinados (nenhum grau de liberdade), logo \rank(A)=3 e \dim(\text{solução})=0çã.

Passo 6

Analisando (D):
\begin{cases} 2x+6y+z=3,\\\\ 10x+30y+5z=15,\\\\ 4y+5z=8. \end{cases}
A segunda equação é 5 vezes a primeira, então sobra a primeira e a terceira, que são independentes. Logo \rank(A)=2 e
\dim(\text{solução}) = 3-2 = 1.çã

Resposta

(D)

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