O que se pede: determinar a dimensão da imagem de T (ou seja, o número de dimensões do subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelos vetores imagem). As alternativas são: (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: \,T é linear e suas componentes dão as coordenadas da imagem em função das coordenadas \,x_1,x_2,x_3,x_4.
Podemos representar T por uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times4} cujas linhas (ou colunas) vêm dos coeficientes das componentes dadas acima.
Passo 2
Conceito básico e plano da solução (aula rápida e prática):
A dimensão da imagem de T é o posto (rank) da matriz A associada a T. O posto é o número máximo de colunas linearmente independentes (igual ao número máximo de linhas linearmente independentes). Para calcular o posto, fazemos eliminação por linhas (redução a uma forma escalonada) que preserva o posto. Vou montar a matriz A e aplicar operações elementares para contar quantas linhas (ou colunas) independentes restam — esse número será a dimensão da imagem.
Passo 3
Matriz associada A (cada coluna corresponde às imagens das bases canônicas, ou equivalentemente cada linha aos coeficientes das componentes):
Explicando: a primeira linha vem da primeira componente x_{1}-2x_{2}-2x_{3}+x_{4}, a segunda da segunda componente e a terceira da terceira.]
Passo 4
Eliminação por linhas passo a passo (vou usar operações que não mudam o posto):
Primeiro, anulo entradas abaixo do pivô da linha 1.
Faço R_2 \leftarrow R_2 + R_1 e R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1.
Calculemos cada linha resultante:
Análise da dependência entre as linhas restantes:
Observe que a terceira linha é exatamente -2 vezes a segunda linha, pois
-2\cdot(0,\,-1,\;1,\,-2) = (0,\;2,\,-2,\;4),
portanto R_3 = -2R_2. Isso significa que R_2 e R_3 não são independentes — juntas contribuem apenas com uma direção independente. A primeira linha é claramente não-nula e não é múltipla da segunda (verificando a primeira coluna: 1 na primeira linha e 0 na segunda, logo não há múltiplo escalar que transforme uma na outra). Assim temos duas linhas linearmente independentes: R_1 e R_2.
Passo 6
Conclusão sobre o posto e interpretação:
Como existem exatamente duas linhas independentes na forma escalonada, o posto da matriz A é 2. Pelo teorema que relaciona posto e imagem, a dimensão da imagem de T é igual ao posto de A. Logo a dimensão da imagem é 2.