Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-2 x_{2}-2 x_{3}+x_{4}\right., \left.-x_{1}+x_{2}+3 x_{3}-3 x_{4}, \quad-2 x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

Enunciado dado: a transformação linear T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 está definida por
T\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\bigl(x_{1}-2x_{2}-2x_{3}+x_{4},\,-x_{1}+x_{2}+3x_{3}-3x_{4},\,-2x_{1}+6x_{2}+2x_{3}+2x_{4}\bigr).
O que se pede: determinar a dimensão da imagem de T (ou seja, o número de dimensões do subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelos vetores imagem). As alternativas são: (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\,T é linear e suas componentes dão as coordenadas da imagem em função das coordenadas \,x_1,x_2,x_3,x_4.
Podemos representar T por uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times4} cujas linhas (ou colunas) vêm dos coeficientes das componentes dadas acima.

Passo 2

Conceito básico e plano da solução (aula rápida e prática):
A dimensão da imagem de T é o posto (rank) da matriz A associada a T. O posto é o número máximo de colunas linearmente independentes (igual ao número máximo de linhas linearmente independentes). Para calcular o posto, fazemos eliminação por linhas (redução a uma forma escalonada) que preserva o posto. Vou montar a matriz A e aplicar operações elementares para contar quantas linhas (ou colunas) independentes restam — esse número será a dimensão da imagem.

Passo 3

Matriz associada A (cada coluna corresponde às imagens das bases canônicas, ou equivalentemente cada linha aos coeficientes das componentes):
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & 1\\[4pt] -1 & 1 & 3 & -3\\[4pt] -2 & 6 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
Explicando: a primeira linha vem da primeira componente x_{1}-2x_{2}-2x_{3}+x_{4}, a segunda da segunda componente e a terceira da terceira.]

Passo 4

Eliminação por linhas passo a passo (vou usar operações que não mudam o posto):
Primeiro, anulo entradas abaixo do pivô da linha 1.
Faço R_2 \leftarrow R_2 + R_1 e R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1.
Calculemos cada linha resultante:
  • R_2 + R_1 = (-1+1,\;1-2,\;3-2,\;-3+1) = (0,\,-1,\;1,\,-2).
  • R_3 + 2R_1 = (-2+2,\;6+2(-2),\;2+2(-2),\;2+2\cdot1) = (0,\;2,\,-2,\;4).
A matriz após essas operações é
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 2 & -2 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Análise da dependência entre as linhas restantes:
Observe que a terceira linha é exatamente -2 vezes a segunda linha, pois
-2\cdot(0,\,-1,\;1,\,-2) = (0,\;2,\,-2,\;4),
portanto R_3 = -2R_2. Isso significa que R_2 e R_3 não são independentes — juntas contribuem apenas com uma direção independente. A primeira linha é claramente não-nula e não é múltipla da segunda (verificando a primeira coluna: 1 na primeira linha e 0 na segunda, logo não há múltiplo escalar que transforme uma na outra). Assim temos duas linhas linearmente independentes: R_1 e R_2.

Passo 6

Conclusão sobre o posto e interpretação:
Como existem exatamente duas linhas independentes na forma escalonada, o posto da matriz A é 2. Pelo teorema que relaciona posto e imagem, a dimensão da imagem de T é igual ao posto de A. Logo a dimensão da imagem é 2.

Resposta

(C) 2

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