Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 150 graus e uma projeção T sobre o eixo y. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\ \frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}0 & -\frac{1}{2} \\\\ 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Informação 1: há uma rotação R em \mathbb{R}^{2} em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 150^\circ.
  • Informação 2: há uma projeção linear T sobre o eixo y. Ou seja, T envia (x,y) em (0,y).
  • O que é pedido: encontrar a matriz que representa a transformação linear composta T R (isto é, aplicar primeiro R e depois T) e identificar qual alternativa da lista corresponde a essa matriz.

Passo 2

Vamos lembrar a forma da matriz de rotação no plano (isso é útil e rápido): a rotação de um ângulo \theta no sentido anti-horário tem matriz, na base canônica,
\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Aqui \theta=150^\circ. Precisamos dos valores \cos150^\circ e \sin150^\circ. Usando identidades de ângulo suplementar:
\cos150^\circ=\cos(180^\circ-30^\circ)=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2},
\sin150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ=\frac{1}{2}.]

Passo 3

Substituindo em \,R, obtemos a matriz da rotação:
R=\begin{pmatrix} \cos150^\circ & -\sin150^\circ\\[4pt] \sin150^\circ & \cos150^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt] \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora a matriz de projeção T sobre o eixo y (na base canônica) é fácil de ver: T(x,y)=(0,y). Portanto
T=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
pois \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\y\end{pmatrix}.]

Passo 5

A composição T R corresponde à multiplicação matricial T\cdot R (primeiro aplicar R, depois T). Vamos calcular T R:
T R = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt] \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.
Ao multiplicar, a primeira linha de T é (0,0), então a primeira linha do produto é (0,0). A segunda linha do produto é a segunda linha de T, (0,1), multiplicada por R, ou seja, dá exatamente a segunda linha de R. Assim:
T R = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[4pt] \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Outra forma de ver (útil na prova): aplicar T R nas bases \,e_{1}=(1,0) e \,e_{2}=(0,1).
  • R(e_{1}) é a primeira coluna de R, isto é \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\;\dfrac{1}{2}\right). Projetando sobre o eixo y (aplicando T) obtemos \left(0,\;\dfrac{1}{2}\right) — que é a primeira coluna de T R.
  • R(e_{2}) é a segunda coluna de R, isto é \left(-\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right). Projetando sobre y obtemos \left(0,\;-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) — que é a segunda coluna de T R.
    Isto confirma a matriz obtida:
T R = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Compare agora com as alternativas fornecidas. A alternativa que coincide com
\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}
é a alternativa (B).]

Resposta

(B)

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