Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+2 y+z,-2 x+5 y+3 z, 2 x-2 y-z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{13} vale:
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(-x+2y+z,\;-2x+5y+3z,\;2x-2y-z).
Pede-se a matriz B que representa a inversa de T (ou seja, B=A^{-1}, onde A representa T) e, especificamente, o valor da entrada b_{13} (primeira linha, terceira coluna) da matriz inversa. Informações relevantes que o enunciado deu:
\text{coeficientes das imagens de }(x,y,z)\Rightarrow \begin{cases} \text{componente 1: } -1\cdot x + 2\cdot y + 1\cdot z,\\[4pt] \text{componente 2: } -2\cdot x + 5\cdot y + 3\cdot z,\\[4pt] \text{componente 3: } 2\cdot x -2\cdot y -1\cdot z. \end{cases}
A resolução efetiva começa no Passo 2.]
Passo 2
Escrevemos a matriz A que representa T na base canônica usando os coeficientes das componentes acima (cada linha corresponde a uma componente de T):
Queremos B=A^{-1} e, em particular, b_{13}, a entrada da primeira linha e terceira coluna de A^{-1}.]
Passo 3
Método escolhido: usar a fórmula clássica para inversa de matriz quadrada:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \det(A) é o determinante de A e \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (ou adjugate), que é a transposta da matriz de cofatores. Vou explicar cada peça:
O determinante \det(A) é um número associado a A; se \det(A)\neq 0, A é invertível.
Para formar a matriz de cofatores, para cada posição (i,j) calculamos o menor (determinante da submatriz que sobra ao tirar a linha i e coluna j) e multiplicamos por (-1)^{i+j} para obter o cofator C_{ij}.
A adjunta \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz (C_{ij}).
Como A é 3\times3, todos esses cálculos são diretos com determinantes 2\times2.
Passo 4
Calculamos o determinante \det(A). Faço a expansão pela primeira linha (pode ser por qualquer linha/coluna):
Conclusão: \det(A)=1, logo A é invertível e A^{-1}=\operatorname{adj}(A) (porque dividir por 1 não altera).
Passo 5
Agora calculamos a matriz de cofatores C=(C_{ij}). Para cada C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}), onde M_{ij} é a submatriz obtida retirando a linha i e coluna j.
Para C_{11}: remover linha 1 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}5 & 3\\\\ -2 & -1\end{pmatrix} com determinante 1 (já calculado). O sinal é (-1)^{1+1}=+1. Logo C_{11}=1.
Para C_{12}: remover linha 1 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}-2 & 3\\\\ 2 & -1\end{pmatrix} com determinante -4. O sinal é (-1)^{1+2}=-1. Logo C_{12}=-1\cdot(-4)=4.
Para C_{13}: remover linha 1 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}-2 & 5\\\\ 2 & -2\end{pmatrix} com determinante -6. O sinal é (-1)^{1+3}=+1. Logo C_{13}=-6.
Para C_{21}: remover linha 2 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}2 & 1\\\\ -2 & -1\end{pmatrix}. Determinante: 2\cdot(-1)-1\cdot(-2)=-2+2=0. Sinal (-1)^{2+1}=-1. Então C_{21}=0.
Para C_{22}: remover linha 2 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}-1 & 1\\\\ 2 & -1\end{pmatrix}. Determinante: (-1)\cdot(-1)-1\cdot 2=1-2=-1. Sinal (-1)^{2+2}=+1. Então C_{22}=-1.
Para C_{23}: remover linha 2 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}-1 & 2\\\\ 2 & -2\end{pmatrix}. Determinante: (-1)\cdot(-2)-2\cdot 2=2-4=-2. Sinal (-1)^{2+3}=-1. Então C_{23}=-1\cdot(-2)=2.
Para C_{31}: remover linha 3 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}2 & 1\\\\ 5 & 3\end{pmatrix}. Determinante: 2\cdot3-1\cdot5=6-5=1. Sinal (-1)^{3+1}=+1. Então C_{31}=1.
Para C_{32}: remover linha 3 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}-1 & 1\\\\ -2 & 3\end{pmatrix}. Determinante: (-1)\cdot 3 - 1\cdot(-2)=-3+2=-1. Sinal (-1)^{3+2}=-1. Então C_{32}=-1\cdot(-1)=1.
Para C_{33}: remover linha 3 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}-1 & 2\\\\ -2 & 5\end{pmatrix}. Determinante: (-1)\cdot 5 - 2\cdot(-2)=-5+4=-1. Sinal (-1)^{3+3}=+1. Então C_{33}=-1.
Agora identificamos a entrada pedida: b_{13} é a entrada da primeira linha e terceira coluna de B. Olhando para B acima, a primeira linha é (1,\;0,\;1), então
b_{13}=1.
Isso corresponde à alternativa (\text{H}) na lista de opções.