Seja F: R^3 R^2 a transformação linear dada por F(x, y, z)=(x+y-z, 2 x-y+3 z). Determine uma base e a dimensão de Ker(F) e uma base e a dimensão de Im(F).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar uma transformação linear F: R^3 R^2 definida por F(x, y, z) = (x + y - z, 2x - y + 3z) . Nosso objetivo é encontrar uma base e a dimensão do Núcleo de F ( Ker(F) ) e uma base e a dimensão da Imagem de F ( Im(F) ). Para isso, vamos precisar entender os conceitos de transformação linear, núcleo e imagem, além de resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Núcleo de F ( Ker(F) ) é o conjunto de todos os vetores (x, y, z) em R^3 que são mapeados para o vetor zero em R^2 . Ou seja, queremos resolver:
F(x, y, z) = 0 implies x + y - z = 0 2x - y + 3z = 0

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os vetores que pertencem ao núcleo:
  1. Da primeira equação: x + y - z = 0 Rightarrow x = -y + z
  2. Substituindo x na segunda equação:
2(-y + z) - y + 3z = 0 -2y + 2z - y + 3z = 0 -3y + 5z = 0 Rightarrow y = 53z
  1. Agora, substituindo y de volta na expressão de x :
x = -( 53z ) + z = -53z + z = -23z

Passo 4

Assim, todas as soluções do sistema podem ser escritas em termos de z . Vamos parametrizar com z = t , onde t é um número real:
x = -23t y = 53t z = t
Podemos escrever o vetor solução como:
x y z = t -23 53 1

Passo 5

Portanto, o Núcleo de F é uma linha (espécie de reta) em R^3 , gerada pelo vetor -23 53 1 . Isso significa que a dimensão do núcleo é 1, já que precisamos de apenas um vetor para gerar todo o núcleo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a Imagem de F ( Im(F) ). A imagem é o conjunto de todos os vetores em R^2 que podem ser obtidos aplicando F em algum vetor de R^3 .
Podemos representar a transformação F por uma matriz A :
A = 1 & 1 & -1 2 & -1 & 3

Passo 7

Para encontrar a base da Imagem de [F), precisamos encontrar as colunas que são linearmente independentes. Vamos observar as colunas de :
Vamos verificar se essas colunas são lineares ou não. Por exemplo, tentamos expressar como combinação de :
Resolvendo:
Isso leva a , o que é impossível. Portanto, e são lineares independentes.

Passo 8

Como temos duas colunas linearmente independentes em R^2 , a Imagem de F é todo o R^2 , pois duas vetores independentes no plano geram o plano inteiro. Assim, a dimensão da imagem é 2.

Resposta

  • Base de Ker(F) : -23 53 1
  • Dimensão de Ker(F) : 1
  • Base de Im(F) : 1 2 , 1 -1
  • Dimensão de Im(F) : 2

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