Seja a transformação linear dada por . Determine uma base e a dimensão de e uma base e a dimensão de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base e a dimensão do Núcleo de () e uma base e a dimensão da Imagem de (). Para isso, vamos precisar entender os conceitos de transformação linear, núcleo e imagem, além de resolver sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Núcleo de () é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os vetores que pertencem ao núcleo:
Da primeira equação: x + y - z = 0 Rightarrow x = -y + z
Substituindo x na segunda equação:
2(-y + z) - y + 3z = 0 -2y + 2z - y + 3z = 0 -3y + 5z = 0 Rightarrow y = 53z
Agora, substituindo y de volta na expressão de x :
x = -( 53z ) + z = -53z + z = -23z
Passo 4
Assim, todas as soluções do sistema podem ser escritas em termos de z . Vamos parametrizar com z = t , onde t é um número real:
x = -23t y = 53t z = t
Podemos escrever o vetor solução como:
x y z = t -23 53 1
Passo 5
Portanto, o Núcleo de F é uma linha (espécie de reta) em R^3 , gerada pelo vetor -23 53 1 . Isso significa que a dimensão do núcleo é 1, já que precisamos de apenas um vetor para gerar todo o núcleo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a Imagem de F ( Im(F) ). A imagem é o conjunto de todos os vetores em R^2 que podem ser obtidos aplicando F em algum vetor de R^3 .
Podemos representar a transformação F por uma matriz A :
A = 1 & 1 & -1 2 & -1 & 3
Passo 7
Para encontrar a base da Imagem de [F), precisamos encontrar as colunas que são linearmente independentes. Vamos observar as colunas de :
Vamos verificar se essas colunas são lineares ou não. Por exemplo, tentamos expressar como combinação de :
Resolvendo:
Isso leva a , o que é impossível. Portanto, e são lineares independentes.
Passo 8
Como temos duas colunas linearmente independentes em R^2 , a Imagem de F é todo o R^2 , pois duas vetores independentes no plano geram o plano inteiro. Assim, a dimensão da imagem é 2.