Determine um conjunto de geradores para o subespaço vetorial F, nos seguintes casos:
F=(x, y, z, t) in R^4 mid x+y=0, z-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
F = (x,y,z,t)inR^4 mid x+y=0,;z-3y=0.
O conteúdo é encontrar o espaço solução de um sistema linear homogêneo e expressá-lo em função de variáveis livres.

Passo 2

As equações que definem F são
x + y = 0
e
z - 3y = 0.
Temos 4 variáveis e 2 equações lineares independentes, logo
dim F = 4 - 2 = 2,
de modo que precisaremos de 2 vetores geradores.

Passo 3

Para resolver o sistema, escolhemos variáveis livres. Por exemplo, seja
y = s, t = u
Das equações segue
x = -y = -s, z = 3y = 3s

Passo 4

Assim, o vetor geral de F fica
(x,y,z,t) = (-s,,s,,3s,,u) = s,(-1,1,3,0) ;+; u,(0,0,0,1)

Passo 5

Dessa forma, dois vetores que geram F são
(-1,1,3,0) e (0,0,0,1)

Resposta

Um conjunto de geradores de F é
,(-1,1,3,0),,(0,0,0,1)

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