Seja T: V U uma transformação linear. Determine se as afirmações abaixo são Verdadeiras ou Falsas justificando sua resposta.
(b) Se u, v, w in V são linearmente independentes, então os vetores T(u), T(v), T(w) in U são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon Vto U e pergunta se uma família de três vetores u,v,wsubset V que é linearmente independente (LI) implica que a família T(u),T(v),T(w)subset U também seja LI. O conteúdo envolve definição de independência linear e propriedades do núcleo ( ker T) de uma aplicação linear.

Passo 2

Lembrando a definição, vetores x1,x2,x3 em um espaço são LI se, na única solução do sistema
alpha1,x1+alpha2,x2+alpha3,x3=0
vierem todos os coeficientes alpha1=alpha2=alpha3=0. Caso contrário, são linearmente dependentes.

Passo 3

Para garantir que T(u),T(v),T(w) seja LI sempre que u,v,w for LI, seria necessário que T fosse injetora (ou seja, ker T=0). Se T não for injetora, há vetores não nulos em V que vão para zero em U, podendo criar combinações não triviais que anulam alpha1T(u)+alpha2T(v)+alpha3T(w)=0 mesmo com alguns alphaineq0.

Passo 4

Um contraexemplo simples é a projeção de em :
No domínio , os vetores

são LI. Mas
Como , a família é dependente (basta ver que com coeficiente não nulo em ).

Resposta

Falsa. The transformação linear não garante preservação de independência linear a menos que seja injetora.

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