Seja
uma transformação linear. Determine se as afirmações abaixo são Verdadeiras ou Falsas justificando sua resposta.
(b) Se
são linearmente independentes, então os vetores
são linearmente independentes.
(b) Se
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e pergunta se uma família de três vetores
que é linearmente independente (LI) implica que a família
também seja LI. O conteúdo envolve definição de independência linear e propriedades do núcleo (
) de uma aplicação linear.
Passo 2
Lembrando a definição, vetores
em um espaço são LI se, na única solução do sistema
vierem todos os coeficientes
. Caso contrário, são linearmente dependentes.
Passo 3
Para garantir que
seja LI sempre que
for LI, seria necessário que
fosse injetora (ou seja,
). Se
não for injetora, há vetores não nulos em
que vão para zero em
, podendo criar combinações não triviais que anulam
mesmo com alguns
.
Passo 4
Um contraexemplo simples é a projeção de em :
No domínio , os vetores
são LI. Mas
são LI. Mas
Como
, a família
é dependente (basta ver que
com coeficiente não nulo em
).
Resposta
Falsa. The transformação linear não garante preservação de independência linear a menos que seja injetora.