Considere as bases abaixo:
  • A=(1,1),(-1,1) base de R^2;
  • B=(1,2,1),(0,1,1),(1,-1,0) base de R^3;
  • C=(1,-1,2),(1,-1,0),(0,1,1) base de R^3 ;
  • D=(ll1 & 1 1 & 1),(ll1 & 1 1 & 0),(ll1 & 1 0 & 0),(ll1 & 0 0 & 0) base de M2 times 2.
    Ache as matrizes das transformações lineares pedidas abaixo:
    (d) Sendo T: R^2 M2 times 2 dada por T(x, y)=(cc6 x+9 y & 2 x+3 y x & y) ache [T]A, D.

Passo 1

O enunciado fornece a transformação T:R^2to M2times2 definida por
T(x,y)=6x+9y & 2x+3y x & y
e as bases
A=(1,1),,(-1,1)subsetR^2
e
D=D1,D2,D3,D4subset M2times2,
onde
D1=1&11&1,; D2=1&11&0,; D3=1&10&0,; D4=1&00&0
Queremos encontrar a matriz de T na base de partida A e na base de chegada D, ou seja, [T]A,D.

Passo 2

Para cada vetor vj de A calculamos T(vj) e escrevemos o resultado como combinação linear de D1,D2,D3,D4. Os coeficientes formam a j-ésima coluna de [T]A,D.

Passo 3

Aplicando em (1,1) encontramos
T(1,1)=6+9 & 2+31&1 =15&51&1
Procuramos c1,c2,c3,c4 tais que
c1D1+c2D2+c3D3+c4D4 =c1+c2+c3+c4 & c1+c2+c3 c1+c2 & c1 =15&51&1
Igualando entradas obtemos
;c1=1,;c1+c2=1implies c2=0,;c1+c2+c3=5implies c3=4,;c1+c2+c3+c4=15implies c4=10
Logo a primeira coluna de [T]A,D é
l[1,;0,;4,;10r]^T.

Passo 4

Aplicando em (-1,1) obtemos
T(-1,1)=-6+9 & -2+3-1&1 =3&1-1&1
Escrevemos
c1D1+c2D2+c3D3+c4D4 =c1+c2+c3+c4 & c1+c2+c3 c1+c2 & c1 =3&1-1&1
Daí
;c1=1,;c1+c2=-1implies c2=-2,;c1+c2+c3=1implies c3=2,;c1+c2+c3+c4=3implies c4=2
Assim a segunda coluna é
l[1,;-2,;2,;2r]^T.

Passo 5

Reunindo as colunas, a matriz de representação é
[T]A,D= 1 & 1 0 & -2 4 & 2 10 & 2

Resposta

[T]A,D= 1 & 1 0 & -2 4 & 2 10 & 2

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