Ache a transformação inversa das seguintes transformações inversíveis:
(d) rllT: & R^3 & longrightarrow (x, y, z) & & R^3 & & (-x+y+z, x-y+z, x+y-z)

Passo 1

O enunciado pede a transformação inversa de
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=(-x+y+z,;x-y+z,;x+y-z)
Estamos em Álgebra Linear, lidando com uma transformação linear invertível. Para encontrar T^-1, basta resolver o sistema linear que define T.

Passo 2

Definindo
(u,v,w)=T(x,y,z),
temos o sistema
u = -x + y + z, v = x - y + z, w = x + y - z
Nosso objetivo é expressar x,y,z em função de u,v,w.

Passo 3

Somamos as equações de forma conveniente:
v + w = (x - y + z) + (x + y - z) = 2x Longrightarrow x = v + w2,
u + w = (-x + y + z) + (x + y - z) = 2y Longrightarrow y = u + w2,
u + v = (-x + y + z) + (x - y + z) = 2z Longrightarrow z = u + v2

Passo 4

Portanto a inversa T^-1 é dada por
T^-1(u,v,w) =l(tfracv+w2,;tfracu+w2,;tfracu+v2r)

Resposta

T^-1(u,v,w) =l(tfracv+w2,;tfracu+w2,;tfracu+v2r)

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