Seja uma base do espaço vetorial . Se os números não são todos iguais a zero, prove que o conjunto dos vetores tais que é um subespaço vetorial de , com dimensão igual a .
Passo 1
Estamos em um espaço vetorial de dimensão com base . Dado um conjunto de escalares não todos nulos, definimos
Queremos mostrar que F é subespaço de E e que dim F = n-1. Para isso, usaremos a noção de núcleo (kernel) de uma transformação linear e o Teorema da Dimensão (rank–nullity).
Passo 2
Mostramos primeiro que F é subespaço de E.
Vetor zero: tomando x1=cdots=xn=0 temos a1x1 + cdots + anxn=0, logo 0in F.
Fechamento em soma e escalar: sejam u = (u1,dots,un) e w = (w1,dots,wn) em F, ou seja
a1u1 + cdots + anun = 0, a1w1 + cdots + anwn = 0
Para alpha,betain K, nos vetores alpha u + beta w as coordenadas são alpha ui + beta wi, e então
É imediato verificar que L é linear (soma de coordenadas e fator escalar). Além disso, pela definição de F,
F = ker(L)
Passo 4
Como nem todos os ai são zero, existe pelo menos um j tal que ajneq0. Então L não é a transformação zero, e sua imagem Im(L)subseteqK é um subespaço não trivial de K, ou seja, de dimensão 1. Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity) em E de dimensão n, temos