Seja v1, cdots, vn uma base do espaço vetorial E. Se os números a1, cdots, an não são todos iguais a zero, prove que o conjunto F dos vetores v=x1 v1+cdots+an vn tais que a1 x1+cdots+an xn=0 é um subespaço vetorial de E, com dimensão igual a n-1.

Passo 1

Estamos em um espaço vetorial E de dimensão n com base v1,dots,vn. Dado um conjunto de escalares a1,dots,an não todos nulos, definimos
F = l,x = x1v1 + cdots + xnvn;|;a1x1 + cdots + anxn = 0r
Queremos mostrar que F é subespaço de E e que dim F = n-1. Para isso, usaremos a noção de núcleo (kernel) de uma transformação linear e o Teorema da Dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Mostramos primeiro que F é subespaço de E.
  1. Vetor zero: tomando x1=cdots=xn=0 temos a1x1 + cdots + anxn=0, logo 0in F.
  2. Fechamento em soma e escalar: sejam u = (u1,dots,un) e w = (w1,dots,wn) em F, ou seja
a1u1 + cdots + anun = 0, a1w1 + cdots + anwn = 0
Para alpha,betain K, nos vetores alpha u + beta w as coordenadas são alpha ui + beta wi, e então
a1(alpha u1 + beta w1) + cdots + an(alpha un + beta wn) = alpha(a1u1 + cdots + anun) + beta(a1w1 + cdots + anwn) = 0
Logo alpha u + beta win F. Assim, F é subespaço.

Passo 3

Definimos a transformação linear
L: E longrightarrow K, Ll(x1v1+cdots+xnvnr) = a1x1 + cdots + anxn
É imediato verificar que L é linear (soma de coordenadas e fator escalar). Além disso, pela definição de F,
F = ker(L)

Passo 4

Como nem todos os ai são zero, existe pelo menos um j tal que ajneq0. Então L não é a transformação zero, e sua imagem Im(L)subseteqK é um subespaço não trivial de K, ou seja, de dimensão 1. Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity) em E de dimensão n, temos
dim E = dimker(L) + dimIm(L),
ou seja
n = dim F + 1,
portanto
dim F = n - 1

Resposta

O conjunto F é subespaço de E e dim F = n-1.

Exercícios relacionados