Seja uma transformação linear T: M(n, 1) \rightarrow M(m, 1) definida por T(X)=A X, onde A é uma matriz constante m \times n e X é uma matrix n \times 1. Para as matrizes A abaixo encontre \operatorname{ker} T e \operatorname{Im} T. Qual a dimensão desses subespaços? (Encontre bases.) A=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
A transformação linear T: M(n,1)\to M(m,1) é dada por T(X)=AX.
Logo uma base natural de \ker T é o conjunto \{\,(0,0,1)^{T}\,\} e
\dim\ker T=1.
(Explicação didática curta: resolver AX=0 é equivalente a impor que cada equação linha seja zero — aqui as duas primeiras linhas forçam x_1 e x_2 a zero; a terceira linha não impõe nada.)]
Passo 4
Calcular \operatorname{Im}T como espaço coluna. As colunas de A são
Verificar independência linear e escolher uma base prática:
Os vetores c_1=(2,0,0)^T e c_2=(0,1,0)^T são linearmente independentes (não há escala não-trivial \alpha,\beta tais que \alpha c_1+\beta c_2=0 a menos que \alpha=\beta=0).
Podemos simplificar a primeira coluna dividindo por 2 (isso não muda o espaço gerado): c_1 e c_2 geram o mesmo espaço que (1,0,0)^T e (0,1,0)^T.
Portanto uma base conveniente para \operatorname{Im}T é \{\,(1,0,0)^{T},(0,1,0)^{T}\,\} e
\dim\operatorname{Im}T=2.
Passo 6
Checagem final pelo teorema da dimensão (teorema núcleo-imagem / nullity-rank):
\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T = 1+2=3,
que é igual a n (número de colunas), como esperado — bom sinal de consistência.