Seja uma transformação linear T: M(n, 1) \rightarrow M(m, 1) definida por T(X)=A X, onde A é uma matriz constante m \times n e X é uma matrix n \times 1. Para as matrizes A abaixo encontre \operatorname{ker} T e \operatorname{Im} T. Qual a dimensão desses subespaços? (Encontre bases.)
A=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • A transformação linear T: M(n,1)\to M(m,1) é dada por T(X)=AX.
  • A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix},
que é uma matriz 3\times3.
  • O enunciado pede:
    • Encontrar \ker T (o núcleo) e uma base dele; determinar \dim\ker T.
    • Encontrar \operatorname{Im}T (a imagem) e uma base dela; determinar \dim\operatorname{Im}T.]

Passo 2

Definições rápidas (úteis para a prova):
  • \ker T é o conjunto de vetores X\in\mathbb{R}^3 tais que AX=0. Em outras palavras, resolver a equação linear AX=0.
  • \operatorname{Im}T é o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelas colunas de A (o chamado espaço coluna).
    Vou aplicar essas definições diretamente.

Passo 3

Calcular \ker T. Escrevendo X=\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\end{pmatrix}, a equação AX=0 é
\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Isto gera o sistema de equações:
2x_1=0,\qquad x_2=0,\qquad 0=0.
Daqui obtemos x_1=0, x_2=0 e x_3 livre (qualquer escalar). Portanto os vetores do núcleo têm a forma
X=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]t\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.
Logo uma base natural de \ker T é o conjunto \{\,(0,0,1)^{T}\,\} e
\dim\ker T=1.
(Explicação didática curta: resolver AX=0 é equivalente a impor que cada equação linha seja zero — aqui as duas primeiras linhas forçam x_1 e x_2 a zero; a terceira linha não impõe nada.)]

Passo 4

Calcular \operatorname{Im}T como espaço coluna. As colunas de A são
c_1=\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Por definição,
\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{c_1,c_2,c_3\}=\operatorname{span}\{c_1,c_2\},
porque c_3 é o vetor zero e não contribui.]

Passo 5

Verificar independência linear e escolher uma base prática:
  • Os vetores c_1=(2,0,0)^T e c_2=(0,1,0)^T são linearmente independentes (não há escala não-trivial \alpha,\beta tais que \alpha c_1+\beta c_2=0 a menos que \alpha=\beta=0).
  • Podemos simplificar a primeira coluna dividindo por 2 (isso não muda o espaço gerado): c_1 e c_2 geram o mesmo espaço que (1,0,0)^T e (0,1,0)^T.
    Portanto uma base conveniente para \operatorname{Im}T é \{\,(1,0,0)^{T},(0,1,0)^{T}\,\} e
\dim\operatorname{Im}T=2.

Passo 6

Checagem final pelo teorema da dimensão (teorema núcleo-imagem / nullity-rank):
\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T = 1+2=3,
que é igual a n (número de colunas), como esperado — bom sinal de consistência.

Resposta

\ker T=\operatorname{span}\{\,(0,0,1)^{T}\},\quad \dim\ker T=1
\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{\,(2,0,0)^{T},(0,1,0)^{T}\}=\operatorname{span}\{\,(1,0,0)^{T},(0,1,0)^{T}\},\quad \dim\operatorname{Im}T=2

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