Seja uma transformação linear T: M(n, 1) \rightarrow M(m, 1) definida por T(X)=A X, onde A é uma matriz constante m \times n e X é uma matrix n \times 1. Para as matrizes A abaixo encontre \operatorname{ker} T e \operatorname{Im} T. Qual a dimensão desses subespaços? (Encontre bases.) A=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei a matriz diretamente do enunciado):
A transformação linear T é T:X\mapsto AX, com domínio M(3,1) (vetores coluna de dimensão 3) e contradomínio M(4,1) (vetores coluna de dimensão 4).
O enunciado pede:
Encontrar \ker T (o núcleo) e uma base para \ker T; dizer \dim(\ker T).
Encontrar \operatorname{Im} T (a imagem/coluna) e uma base para \operatorname{Im} T; dizer \dim(\operatorname{Im} T).]
Passo 2
Lembrete do que são núcleo e imagem (com explicação didática):
\ker T=\{X\in\mathbb{R}^3 \mid AX=0\}. É o conjunto de vetores do domínio que vão para o vetor nulo no contradomínio. Para encontrá-lo, resolvemos o sistema linear AX=0.
\operatorname{Im} T=\{AX \mid X\in\mathbb{R}^3\}. É o subespaço gerado pelas colunas de A: cada produto AX é combinação linear das colunas de A. Logo \operatorname{Im} T=\operatorname{span}\{\text{colunas de }A\}.
Passo 3
Escrevendo um vetor genérico do domínio e calculando AX.
Queremos \begin{pmatrix}2x_1\\\ x_2\\\\ 3x_3\\\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Isso dá o sistema
2x_1=0,\qquad x_2=0,\qquad 3x_3=0,\qquad 0=0.
Daí x_1=0, x_2=0, x_3=0. Logo o único vetor no núcleo é o vetor nulo. Portanto
\ker T=\{0\}.
Comentário sobre base e dimensão: o subespaço zero tem dimensão 0 e sua base é o conjunto vazio. Em símbolos, uma base para \ker T é \varnothing e \dim(\ker T)=0.
Passo 5
Encontrando \operatorname{Im} T: colunas de A e seu span.
Isto implica 2\alpha_1=0\Rightarrow\alpha_1=0, \alpha_2=0, \alpha_3=0. Portanto as colunas c_1,c_2,c_3 são linearmente independentes. Assim elas formam uma base de \operatorname{Im} T.
Observação prática: também seria possível escolher como base os vetores obtidos dividindo por escalares não nulos (por exemplo (1,0,0,0)^T,(0,1,0,0)^T,(0,0,1,0)^T), que geram o mesmo subespaço; mas a base natural aqui são as colunas dadas.]
Passo 7
Checagem via Teorema da Dimensão (teorema imagem-núcleo / rank-nullity):