Seja uma transformação linear T: M(n, 1) \rightarrow M(m, 1) definida por T(X)=A X, onde A é uma matriz constante m \times n e X é uma matrix n \times 1. Para as matrizes A abaixo encontre \operatorname{ker} T e \operatorname{Im} T. Qual a dimensão desses subespaços? (Encontre bases.)
A=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei a matriz diretamente do enunciado):
  • A matriz constante A é uma matriz 4\times3:
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
  • A transformação linear T é T:X\mapsto AX, com domínio M(3,1) (vetores coluna de dimensão 3) e contradomínio M(4,1) (vetores coluna de dimensão 4).
O enunciado pede:
  • Encontrar \ker T (o núcleo) e uma base para \ker T; dizer \dim(\ker T).
  • Encontrar \operatorname{Im} T (a imagem/coluna) e uma base para \operatorname{Im} T; dizer \dim(\operatorname{Im} T).]

Passo 2

Lembrete do que são núcleo e imagem (com explicação didática):
  • \ker T=\{X\in\mathbb{R}^3 \mid AX=0\}. É o conjunto de vetores do domínio que vão para o vetor nulo no contradomínio. Para encontrá-lo, resolvemos o sistema linear AX=0.
  • \operatorname{Im} T=\{AX \mid X\in\mathbb{R}^3\}. É o subespaço gerado pelas colunas de A: cada produto AX é combinação linear das colunas de A. Logo \operatorname{Im} T=\operatorname{span}\{\text{colunas de }A\}.

Passo 3

Escrevendo um vetor genérico do domínio e calculando AX.
Seja
X=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\\[4pt] x_3\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3.
Multiplicando A por X:
AX= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\\[4pt] x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1\\[4pt] x_2\\[4pt] 3x_3\\[4pt] 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Encontrando \ker T: resolver AX=0.
Queremos \begin{pmatrix}2x_1\\\ x_2\\\\ 3x_3\\\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Isso dá o sistema
2x_1=0,\qquad x_2=0,\qquad 3x_3=0,\qquad 0=0.
Daí x_1=0, x_2=0, x_3=0. Logo o único vetor no núcleo é o vetor nulo. Portanto
\ker T=\{0\}.
Comentário sobre base e dimensão: o subespaço zero tem dimensão 0 e sua base é o conjunto vazio. Em símbolos, uma base para \ker T é \varnothing e \dim(\ker T)=0.

Passo 5

Encontrando \operatorname{Im} T: colunas de A e seu span.
As colunas de A são
c_1=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad c_3=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Como vimos em AX temos
AX = x_1 c_1 + x_2 c_2 + x_3 c_3,
logo
\operatorname{Im} T=\operatorname{span}\{c_1,c_2,c_3\}.]

Passo 6

Verificando se as colunas são linearmente independentes (para obter uma base e a dimensão).
Suponha que existam escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 tais que
\alpha_1 c_1+\alpha_2 c_2+\alpha_3 c_3=0.
Escrevendo coordenadas:
\begin{pmatrix} 2\alpha_1\\[4pt] \alpha_2\\[4pt] 3\alpha_3\\[4pt] 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Isto implica 2\alpha_1=0\Rightarrow\alpha_1=0, \alpha_2=0, \alpha_3=0. Portanto as colunas c_1,c_2,c_3 são linearmente independentes. Assim elas formam uma base de \operatorname{Im} T.
Logo
\operatorname{Im} T=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}\right\},
e \dim(\operatorname{Im} T)=3.
Observação prática: também seria possível escolher como base os vetores obtidos dividindo por escalares não nulos (por exemplo (1,0,0,0)^T,(0,1,0,0)^T,(0,0,1,0)^T), que geram o mesmo subespaço; mas a base natural aqui são as colunas dadas.]

Passo 7

Checagem via Teorema da Dimensão (teorema imagem-núcleo / rank-nullity):
O espaço domínio tem dimensão 3. O teorema diz
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)=\dim(\text{domínio})=3.í
Temos \dim(\ker T)=0 e \dim(\operatorname{Im} T)=3, e 0+3=3, consistente. Tudo bate.

Resposta

\ker T=\{0\},\quad base para \ker T:\\ \varnothing,\quad \dim(\ker T)=0
\operatorname{Im} T=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}\right\},\quad base para \operatorname{Im} T:\ \left\{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\3\\0\end{pmatrix}\right\},\quad \dim(\operatorname{Im} T)=3.

Exercícios relacionados