4.72: Considere a base alpha=(1,1,1),(-1,1,1),(0,-1,1) de R^3. Determine uma base beta tal que [I]alpha beta=[rrr1 & 0 & 0 2 & -1 & 1 0 & 0 & 1].

Passo 1

O enunciado dá a base alpha=a1,a2,a3 de R^3, com
a1=(1,1,1), a2=(-1,1,1), a3=(0,-1,1),
e pede uma base beta=v1,v2,v3 tal que a matriz de mudança de coordenadas
[I]alphabeta seja
1 & 0 & 0 2 & -1 & 1 0 & 0 & 1
Aqui o conteúdo é interpretação de matriz de mudança de base: cada coluna dessa matriz são as coordenadas de vi na base alpha.

Passo 2

Seja
[I]alphabeta = l[,[v1]alpha;|;[v2]alpha;|;[v3]alphar] = 1 & 0 & 0 2 & -1 & 1 0 & 0 & 1
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[v1]alpha=120, [v2]alpha=0-10, [v3]alpha=011
Pela definição de coordenada, isso significa
vi=([vi]alpha)1,a1+([vi]alpha)2,a2+([vi]alpha)3,a3

Passo 3

Calculemos v1:
v1=1cdot a1+2cdot a2+0cdot a3 =(1,1,1)+2(-1,1,1) =(1-2,;1+2,;1+2) =(-1,3,3)

Passo 4

Calculemos v2:
v2=0cdot a1+(-1)cdot a2+0cdot a3 =-a2 =-(-1,1,1) =(1,-1,-1)

Passo 5

Calculemos v3:
v3=0cdot a1+1cdot a2+1cdot a3 =a2+a3 =(-1,1,1)+(0,-1,1) =(-1,0,2)

Resposta

A base beta que satisfaz [I]alphabeta=1&0&02&-1&10&0&1 é
beta=,(-1,3,3),;(1,-1,-1),;(-1,0,2)

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