Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear tal que
T(-1,2,1)=(1,1,2) T(0,1,0)=(0,-2,1) T(0,1,1)=(0,0,-1)
Determine P tal que a matriz canônica da transformação, [T], é dada por [T]=P A P^-1 onde A é a matriz do item anterior.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:R^3toR^3 e informa as imagens dos vetores
v1=(-1,2,1), v2=(0,1,0), v3=(0,1,1)
No item anterior foi obtida a matriz A de T relativa à base B=v1,v2,v3. Agora queremos a matriz canônica [T] na base canônica, e sabemos que ela se obtém por
[T]=P,A,P^-1,
onde P é a matriz de mudança de base de B para a base canônica.

Passo 2

Para montar P basta colocar como colunas as coordenadas dos vetores de B na base canônica. Primeiro verificamos que v1,v2,v3 é independente (o determinante da matriz cujas colunas são v1,v2,v3 é -1ne0), logo P é invertível.

Passo 3

Formando P com as colunas v1, v2 e v3, obtemos
P= -1 & 0 & 0 2 & 1 & 1 1 & 0 & 1

Resposta

P= -1 & 0 & 0 2 & 1 & 1 1 & 0 & 1

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