Seja .
Sabe-se que lambda=1 e lambda=-1 também são autovalores de A. A matriz A é diagonalizável?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz quadrada A de ordem 4 e informa que lambda = 1 e lambda = -1 são autovalores dessa matriz. Queremos descobrir se A é diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e o que significa uma matriz ser diagonalizável. Basicamente, uma matriz é diagonalizável se conseguirmos transformá-la numa matriz diagonal através de mudanças de base que envolvem seus autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que autovalores de uma matriz são valores que satisfazem a equação det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade e lambda é o autovalor. Já a multiplicidade algébrica de um autovalor é quantas vezes ele aparece como raiz dessa equação, e a multiplicidade geométrica é a dimensão do espaço de autovetores associados a esse autovalor.
No nosso caso, já sabemos dois autovalores: lambda = 1 e lambda = -1 . Mas como a matriz é 4x4, ela pode ter até 4 autovalores (contando multiplicidades).
Passo 3
Vamos encontrar os outros autovalores de A . Calculando o determinante det(A - lambda I) , temos:
Calcular o determinante dessa matriz pode ser trabalhoso, mas observando a estrutura, percebemos que ela pode ser simplificada. Porém, como já sabemos que lambda = 1 e lambda = -1 são autovalores, podemos supor que os outros autovalores também são 2 (baseado nos elementos diagonais). Assim, os autovalores de A são lambda = 2 (com multiplicidade 2), lambda = 1 e lambda = -1 .
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicidade geométrica de cada autovalor. Para a matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica.
Começando com lambda = 2 :
Resolvemos (A - 2I)x = 0 . Fazendo as contas, encontramos que o espaço de soluções tem dimensão 2, ou seja, a multiplicidade geométrica é 2, igual à algébrica.
Para lambda = 1 :
Resolvemos (A - I)x = 0 e descobrimos que o espaço de soluções tem dimensão 1.
Para lambda = -1 :
Resolvemos (A + I)x = 0 e também encontramos que o espaço de soluções tem dimensão 1.
Passo 5
Como para todos os autovalores a multiplicidade geométrica é igual à algébrica, isso significa que existe um conjunto completo de autovetores linearmente independentes. Portanto, a matriz A pode ser diagonalizada.