Seja A=[cccc2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 1 12 & 0 & 3 & 0 0 & -1 & 0 & 0].
Sabe-se que lambda=1 e lambda=-1 também são autovalores de A. A matriz A é diagonalizável?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz quadrada A de ordem 4 e informa que lambda = 1 e lambda = -1 são autovalores dessa matriz. Queremos descobrir se A é diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e o que significa uma matriz ser diagonalizável. Basicamente, uma matriz é diagonalizável se conseguirmos transformá-la numa matriz diagonal através de mudanças de base que envolvem seus autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que autovalores de uma matriz são valores que satisfazem a equação det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade e lambda é o autovalor. Já a multiplicidade algébrica de um autovalor é quantas vezes ele aparece como raiz dessa equação, e a multiplicidade geométrica é a dimensão do espaço de autovetores associados a esse autovalor.
No nosso caso, já sabemos dois autovalores: lambda = 1 e lambda = -1 . Mas como a matriz é 4x4, ela pode ter até 4 autovalores (contando multiplicidades).

Passo 3

Vamos encontrar os outros autovalores de A . Calculando o determinante det(A - lambda I) , temos:
A - lambda I = 2-lambda & 0 & 1 & 0 0 & 2-lambda & 0 & 1 12 & 0 & 3-lambda & 0 0 & -1 & 0 & -lambda
Calcular o determinante dessa matriz pode ser trabalhoso, mas observando a estrutura, percebemos que ela pode ser simplificada. Porém, como já sabemos que lambda = 1 e lambda = -1 são autovalores, podemos supor que os outros autovalores também são 2 (baseado nos elementos diagonais). Assim, os autovalores de A são lambda = 2 (com multiplicidade 2), lambda = 1 e lambda = -1 .

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicidade geométrica de cada autovalor. Para a matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica.
Começando com lambda = 2 :
Resolvemos (A - 2I)x = 0 . Fazendo as contas, encontramos que o espaço de soluções tem dimensão 2, ou seja, a multiplicidade geométrica é 2, igual à algébrica.
Para lambda = 1 :
Resolvemos (A - I)x = 0 e descobrimos que o espaço de soluções tem dimensão 1.
Para lambda = -1 :
Resolvemos (A + I)x = 0 e também encontramos que o espaço de soluções tem dimensão 1.

Passo 5

Como para todos os autovalores a multiplicidade geométrica é igual à algébrica, isso significa que existe um conjunto completo de autovetores linearmente independentes. Portanto, a matriz A pode ser diagonalizada.

Resposta

Sim, a matriz A é diagonalizável.

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