Seja
uma transformação linear tal que
Sabe-se que a matriz
do item a) é diagonalizável. Conclua a partir do item b), sem fazer cálculos, que
é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear
que leva vetores de
para
. Ele nos dá como
age em três vetores específicos e diz que a matriz
correspondente é diagonalizável. A tarefa é, a partir dessa informação, concluir que a matriz representativa de
, chamada
, também é diagonalizável, sem fazer cálculos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que significa uma matriz ser diagonalizável e como essas ideias se conectam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, ela é uma função que respeita duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, se você tem uma transformação linear
e dois vetores
e
, e um escalar
, então:
Isso garante que a transformação se comporta de maneira previsível em relação à estrutura do espaço vetorial.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre matrizes e como elas representam transformações lineares. Cada transformação linear pode ser associada a uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, dá o mesmo resultado que a transformação. Nesse caso, a matriz
representa a transformação
.
Passo 4
A diagonalização de uma matriz é um processo que transforma a matriz original em uma matriz diagonal, que tem somente elementos na diagonal principal e zeros no restante. Uma matriz é chamada de diagonalizável se isso for possível. Isso é útil porque matrizes diagonais são muito mais fáceis de trabalhar, especialmente para calcular potências ou resolver sistemas de equações.
Passo 5
Para que uma matriz seja diagonalizável, ela precisa ter um número suficiente de vetores próprios (ou seja, vetores que, quando a matriz é aplicada a eles, resultam em múltiplos de si mesmos). Se a matriz
do item a) é diagonalizável, isso significa que existe uma base de
formada por vetores próprios de
.
Passo 6
Agora, voltando para a matriz
. Como
representa a mesma transformação linear que
, e sabemos que
é diagonalizável, isso implica que
também tem uma base de vetores próprios. Portanto,
é diagonalizável por herança da propriedade de
.
Resposta
Portanto, a matriz
é diagonalizável.