Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear tal que
T(-1,2,1)=(1,1,2) T(0,1,0)=(0,-2,1) T(0,1,1)=(0,0,-1)
Sabe-se que a matriz A do item a) é diagonalizável. Conclua a partir do item b), sem fazer cálculos, que [T] é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear T que leva vetores de R^3 para R^3 . Ele nos dá como T age em três vetores específicos e diz que a matriz A correspondente é diagonalizável. A tarefa é, a partir dessa informação, concluir que a matriz representativa de T , chamada [T] , também é diagonalizável, sem fazer cálculos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que significa uma matriz ser diagonalizável e como essas ideias se conectam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, ela é uma função que respeita duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, se você tem uma transformação linear T e dois vetores u e v , e um escalar c , então:
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(cu) = cT(u)
Isso garante que a transformação se comporta de maneira previsível em relação à estrutura do espaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre matrizes e como elas representam transformações lineares. Cada transformação linear pode ser associada a uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, dá o mesmo resultado que a transformação. Nesse caso, a matriz [T] representa a transformação T .

Passo 4

A diagonalização de uma matriz é um processo que transforma a matriz original em uma matriz diagonal, que tem somente elementos na diagonal principal e zeros no restante. Uma matriz é chamada de diagonalizável se isso for possível. Isso é útil porque matrizes diagonais são muito mais fáceis de trabalhar, especialmente para calcular potências ou resolver sistemas de equações.

Passo 5

Para que uma matriz seja diagonalizável, ela precisa ter um número suficiente de vetores próprios (ou seja, vetores que, quando a matriz é aplicada a eles, resultam em múltiplos de si mesmos). Se a matriz A do item a) é diagonalizável, isso significa que existe uma base de R^3 formada por vetores próprios de A .

Passo 6

Agora, voltando para a matriz [T] . Como [T] representa a mesma transformação linear que A , e sabemos que A é diagonalizável, isso implica que [T] também tem uma base de vetores próprios. Portanto, [T] é diagonalizável por herança da propriedade de A .

Resposta

Portanto, a matriz [T] é diagonalizável.

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