Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear tal que
T(-1,2,1)=(1,1,2) T(0,1,0)=(0,-2,1) T(0,1,1)=(0,0,-1)
Encontre a matriz da transformação na base beta=u1=(-1,2,1), u2=(0,1,0), u3=(0,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear T: R^3 R^3 que transforma vetores do espaço tridimensional. O enunciado nos dá algumas imagens de vetores específicos por essa transformação e nos pede para encontrar a matriz dessa transformação na base beta = u1=(-1,2,1), u2=(0,1,0), u3=(0,1,1) .
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Transformação Linear e Matriz Associada: Como uma transformação linear pode ser representada por uma matriz.
  • Mudança de Base: Como expressar a matriz da transformação em uma base diferente da base padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear T pode ser representada por uma matriz A tal que T(x) = Ax para qualquer vetor x no espaço. No nosso caso, queremos encontrar a matriz na base beta.
Para encontrar essa matriz, precisamos determinar como T age em cada um dos vetores da base beta e expressar essas imagens também na base beta.

Passo 3

Vamos começar identificando os vetores da base beta:
beta = u1=(-1,2,1), u2=(0,1,0), u3=(0,1,1)
Sabemos que:
T(u1) = (1,1,2), T(u2) = (0,-2,1), T(u3) = (0,0,-1)
Nosso objetivo é expressar cada uma dessas imagens como combinação linear dos vetores da base beta.

Passo 4

Vamos expressar T(u1) = (1,1,2) como uma combinação linear de u1, u2 e u3:
(1,1,2) = au1 + bu2 + cu3
Substituindo os vetores:
(1,1,2) = a(-1,2,1) + b(0,1,0) + c(0,1,1)
Isso resulta no sistema de equações:
- a = 1 2a + b + c = 1 a + c = 2

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação: -a = 1 Rightarrow a = -1
Substituindo a = -1 na terceira equação:
-1 + c = 2 Rightarrow c = 3
Agora, substituindo a = -1 e c = 3 na segunda equação:
2(-1) + b + 3 = 1 Rightarrow -2 + b + 3 = 1 Rightarrow b + 1 = 1 Rightarrow b = 0
Então, os coeficientes são a = -1 , b = 0 , c = 3 .

Passo 6

Portanto, podemos escrever:
T(u1) = -1u1 + 0u2 + 3u3
Ou seja, na base beta, as coordenadas de T(u1) são (-1, 0, 3) .

Passo 7

Vamos repetir o mesmo processo para T(u2) = (0,-2,1) :
(0,-2,1) = au1 + bu2 + cu3
Substituindo os vetores:
(0,-2,1) = a(-1,2,1) + b(0,1,0) + c(0,1,1)
Isso resulta no sistema de equações:
- a = 0 2a + b + c = -2 a + c = 1

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: -a = 0 Rightarrow a = 0
Substituindo a = 0 na terceira equação:
0 + c = 1 Rightarrow c = 1
Agora, substituindo a = 0 e c = 1 na segunda equação:
2(0) + b + 1 = -2 Rightarrow b + 1 = -2 Rightarrow b = -3
Então, os coeficientes são a = 0 , b = -3 , c = 1 .

Passo 9

Portanto, podemos escrever:
T(u2) = 0u1 - 3u2 + 1u3
Ou seja, na base beta, as coordenadas de T(u2) são (0, -3, 1) .

Passo 10

Finalmente, vamos fazer o mesmo para T(u3) = (0,0,-1) :
(0,0,-1) = au1 + bu2 + cu3
Substituindo os vetores:
(0,0,-1) = a(-1,2,1) + b(0,1,0) + c(0,1,1)
Isso resulta no sistema de equações:
- a = 0 2a + b + c = 0 a + c = -1

Passo 11

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: -a = 0 Rightarrow a = 0
Substituindo a = 0 na terceira equação:
0 + c = -1 Rightarrow c = -1
Agora, substituindo a = 0 e c = -1 na segunda equação:
2(0) + b -1 = 0 Rightarrow b -1 = 0 Rightarrow b = 1
Então, os coeficientes são a = 0 , b = 1 , c = -1 .

Passo 12

Portanto, podemos escrever:
T(u3) = 0u1 + 1u2 -1u3
Ou seja, na base beta, as coordenadas de T(u3) são (0, 1, -1) .

Resposta

A matriz da transformação T na base beta é:
-1 & 0 & 0 0 & -3 & 1 3 & 1 & -1

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