Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear que transforma vetores do espaço tridimensional. O enunciado nos dá algumas imagens de vetores específicos por essa transformação e nos pede para encontrar a matriz dessa transformação na base .
Para resolver isso, vamos precisar entender:
Transformação Linear e Matriz Associada: Como uma transformação linear pode ser representada por uma matriz.
Mudança de Base: Como expressar a matriz da transformação em uma base diferente da base padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz tal que para qualquer vetor no espaço. No nosso caso, queremos encontrar a matriz na base .
Para encontrar essa matriz, precisamos determinar como age em cada um dos vetores da base e expressar essas imagens também na base .
Passo 3
Vamos começar identificando os vetores da base :
Sabemos que:
Nosso objetivo é expressar cada uma dessas imagens como combinação linear dos vetores da base .
Passo 4
Vamos expressar como uma combinação linear de , e :
Substituindo os vetores:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação: -a = 1 Rightarrow a = -1
Substituindo a = -1 na terceira equação:
-1 + c = 2 Rightarrow c = 3
Agora, substituindo a = -1 e c = 3 na segunda equação:
2(-1) + b + 3 = 1 Rightarrow -2 + b + 3 = 1 Rightarrow b + 1 = 1 Rightarrow b = 0
Então, os coeficientes são a = -1 , b = 0 , c = 3 .
Passo 6
Portanto, podemos escrever:
T(u1) = -1u1 + 0u2 + 3u3
Ou seja, na base beta, as coordenadas de T(u1) são (-1, 0, 3) .
Passo 7
Vamos repetir o mesmo processo para T(u2) = (0,-2,1) :
(0,-2,1) = au1 + bu2 + cu3
Substituindo os vetores:
(0,-2,1) = a(-1,2,1) + b(0,1,0) + c(0,1,1)
Isso resulta no sistema de equações:
- a = 0 2a + b + c = -2 a + c = 1
Passo 8
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: -a = 0 Rightarrow a = 0
Substituindo a = 0 na terceira equação:
0 + c = 1 Rightarrow c = 1
Agora, substituindo a = 0 e c = 1 na segunda equação:
2(0) + b + 1 = -2 Rightarrow b + 1 = -2 Rightarrow b = -3
Então, os coeficientes são a = 0 , b = -3 , c = 1 .
Passo 9
Portanto, podemos escrever:
T(u2) = 0u1 - 3u2 + 1u3
Ou seja, na base beta, as coordenadas de T(u2) são (0, -3, 1) .
Passo 10
Finalmente, vamos fazer o mesmo para T(u3) = (0,0,-1) :
(0,0,-1) = au1 + bu2 + cu3
Substituindo os vetores:
(0,0,-1) = a(-1,2,1) + b(0,1,0) + c(0,1,1)
Isso resulta no sistema de equações:
- a = 0 2a + b + c = 0 a + c = -1
Passo 11
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: -a = 0 Rightarrow a = 0
Substituindo a = 0 na terceira equação:
0 + c = -1 Rightarrow c = -1
Agora, substituindo a = 0 e c = -1 na segunda equação:
2(0) + b -1 = 0 Rightarrow b -1 = 0 Rightarrow b = 1
Então, os coeficientes são a = 0 , b = 1 , c = -1 .
Passo 12
Portanto, podemos escrever:
T(u3) = 0u1 + 1u2 -1u3
Ou seja, na base beta, as coordenadas de T(u3) são (0, 1, -1) .