Considere as bases X=x1, x2, x3 e Y=y1, y2, y3 de R^3.
Dado o vetor r, obtenha o vetor de coordenadas (r)X e utilize a matriz de transição apropriada para determinar o vetor de coordenadas (r)Y.
r=(-3,1,0)
x1=(-3,-4,3) y1=(-2,-4,-5)
x2=(0,-1,-3) y2=(-4,-4,-4)
x3=(4,-2,-2) y3=(4,-5,5)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro encontrar as coordenadas de r na base X, ou seja ( r)X, e depois usar a matriz de transição entre a base canônica e a base Y para obter ( r)Y.
Para achar ( r)X usamos que
r = c1, x1 + c2, x2 + c3, x3,
isto é, se montarmos a matriz cujas colunas são x1, x2, x3, ela vezes o vetor de coeficientes (c1,c2,c3)^T deve dar r.
Para achar ( r)Y, lembramos que a matriz cujas colunas são y1, y2, y3 (chamemos-na de S) satisfaz
S,( r)Y ;=; r,
logo ( r)Y = S^-1, r.

Passo 2

Montamos e resolvemos
underbrace -3 & 0 & 4 -4 & -1 & -2 3 & -3 & -2 T c1[6pt]c2[6pt]c3 = -3[3pt]1[3pt]0
Pela eliminação encontra-se
c1 = 0, c2 = tfrac12, c3 = -tfrac34
Logo
( r)X = 0[3pt]tfrac12[3pt]-tfrac34 ]

Passo 3

A matriz de passagem da base Y para a base canônica é
S = -2 & -4 & 4 -4 & -4 & -5 -5 & -4 & 5 ,
pois suas colunas são y1, y2, y3. Para passar da base canônica para Y usamos S^-1, de modo que
( r)Y = S^-1, r Long<=ftrightarrow S,( r)Y = r

Passo 4

Resolvendo o sistema
-2 & -4 & 4 -4 & -4 & -5 -5 & -4 & 5 d1[3pt]d2[3pt]d3 = -3[3pt]1[3pt]0
por eliminação obtemos
d1 = -tfrac3129, d2 = tfrac125116, d3 = -tfrac629
Portanto
( r)Y = -tfrac3129[3pt]tfrac125116[3pt]-tfrac629 ]

Resposta

( r)X = 0[3pt]tfrac12[3pt]-tfrac34 , ( r)Y = -tfrac3129[3pt]tfrac125116[3pt]-tfrac629 ]

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