Seja T uma transformaçâo linear de R^3 em R tal que T(1,1,1)=1, T(1,1,0)=2 e T(1,0,0)=3. Encontre T(0,1,1).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon R^3 to R com
T(1,1,1)=1, T(1,1,0)=2, T(1,0,0)=3
e pede T(0,1,1). Como T é linear, ela pode ser escrita como
T(x,y,z)=a,x + b,y + c,z
para certos escalares a,b,c. Nosso objetivo é determinar a, b e c a partir dos dados e então calcular T(0,1,1).

Passo 2

Usando T(1,0,0)=3, substituímos em T(x,y,z)=a x + b y + c z com (x,y,z)=(1,0,0), obtendo
acdot1 + bcdot0 + ccdot0 = a = 3

Passo 3

Usando T(1,1,0)=2, temos
acdot1 + bcdot1 + ccdot0 = a + b = 2
Como a=3, segue
3 + b = 2 Longrightarrow b = -1

Passo 4

Usando T(1,1,1)=1, escrevemos
acdot1 + bcdot1 + ccdot1 = a + b + c = 1
Substituindo a=3 e b=-1, obtemos
3 + (-1) + c = 1 Longrightarrow 2 + c = 1 Longrightarrow c = -1

Passo 5

Agora que a=3, b=-1 e c=-1, calculamos
T(0,1,1) = acdot0 + bcdot1 + ccdot1 = 0 + (-1) + (-1) = -2

Resposta

T(0,1,1) = -2

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