Seja T uma transformação linear de R^2 em R^2 tal que T(1,-1)=(2,-3) e T(0,2)=(0,8). Encontre T(2,4).

Passo 1

O enunciado diz que Tcolon R^2toR^2 é linear, com
T(1,-1)=(2,-3), T(0,2)=(0,8),
e pede T(2,4).
Conteúdo: transformação linear em R^2 e decomposição de vetores em uma base.

Passo 2

Primeiro, verificamos que os vetores v1=(1,-1) e v2=(0,2) formam uma base de R^2. Basta calcular o determinante das colunas formadas por v1 e v2:
det1&0-1&2 =1cdot2 - 0cdot(-1) =2neq0
Como o determinante é não nulo, v1,v2 é base.

Passo 3

Expressamos um vetor genérico (x,y) como combinação linear de v1 e v2:
(x,y)=alpha(1,-1)+beta(0,2)
Isto dá o sistema
x=alpha, y=-alpha+2beta
Logo
alpha=x, beta=y+alpha2=y+x2

Passo 4

No caso (x,y)=(2,4), temos
alpha=2, beta=4+22=3

Passo 5

Pela linearidade de T,
T(2,4) = alpha,T(1,-1)+beta,T(0,2) =2,(2,-3)+3,(0,8) =(4,-6)+(0,24) =(4,18)

Resposta

T(2,4)=(4,18)

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