Seja T uma transformação linear de R^2 em R^2 tal que T(4,-2)=(2,-2) e T(3,3)=(-3,3). Encontre T(-7,2).

Passo 1

O enunciado diz que Tcolon R^2toR^2 é linear, com
T(4,-2)=(2,-2)
e
T(3,3)=(-3,3)
Queremos achar
T(-7,2)
Como T é linear, basta escrever (-7,2) como combinação linear de (4,-2) e (3,3) e usar T(a u+b v)=aT( u)+bT( v).

Passo 2

Procuramos escalares a,b tais que
a,(4,-2)+b,(3,3)=(-7,2)
Isto gera o sistema
4a+3b=-7, -2a+3b=2

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar b:
(4a+3b)-(-2a+3b)=-7-2 Longrightarrow 6a=-9 Longrightarrow a=-tfrac32
Substituindo em 4a+3b=-7:
4l(-tfrac32r)+3b=-7 Longrightarrow -6+3b=-7 Longrightarrow 3b=-1 Longrightarrow b=-tfrac13

Passo 4

Pela linearidade,
T(-7,2) =Tl(a,(4,-2)+b,(3,3)r) =a,T(4,-2)+b,T(3,3)
Então
a,T(4,-2) =-tfrac32,(2,-2)=(-3,3),
b,T(3,3) =-tfrac13,(-3,3)=(1,-1),
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T(-7,2)=(-3,3)+(1,-1)=(-2,2)

Resposta

T(-7,2)=(-2,2)

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