Suponha que uma caixa contenha
bolas vermelhas e
bolas brancas. Suponha também que bolas são retiradas da caixa uma por vez, aleatoriamente, sem reposição. (a) Qual é a probabilidade que todas as
bolas vermelhas sejam obtidas antes de qualquer bola branca? (b) Qual é a probabilidade que todas
bolas vermelhas serão obtidas antes que duas bolas brancas sejam obtidas?
Passo 1
Beleza, então vamos lá! Você tem uma caixa com
bolas vermelhas e
bolas brancas. A gente vai tirar as bolas uma por vez, de forma aleatória e sem colocar de volta. O objetivo aqui é calcular duas probabilidades:
a) A probabilidade de tirar todas as
bolas vermelhas antes de tirar qualquer bola branca.
b) A probabilidade de tirar todas as
bolas vermelhas antes de tirar duas bolas brancas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, que envolve contar de quantas formas os eventos podem acontecer.
Passo 2
Parte a) Primeiro, queremos saber a probabilidade de tirar todas as bolas vermelhas antes de tirar qualquer branca. Ou seja, as primeiras
retiradas devem ser todas vermelhas.
Para entender isso, vamos pensar em todas as possíveis ordens de tirar as bolas e ver quantas delas começam com todas as
bolas vermelhas.
O total de bolas na caixa é
. A quantidade de maneiras de ordenar todas as bolas é
.
Mas queremos que as primeiras
bolas sejam vermelhas. Há
maneiras de organizar as bolas vermelhas e
maneiras de organizar as brancas após elas.
Então, a probabilidade é:
Passo 3
Isso simplifica a expressão usando combinações. A probabilidade pode ser reescrita como:
onde
é o número de combinações de
bolas vermelhas em
bolas totais.
Passo 4
Parte b) Agora, queremos a probabilidade de tirar todas as
bolas vermelhas antes de tirar duas bolas brancas.
Isso significa que, durante o processo de retirada, nunca teremos duas bolas brancas antes de todas as vermelhas serem retiradas.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de caminhos sem rejeições, similar ao problema de catalan.
A ideia é contar o número de sequências onde as vermelhas sempre “superam” as brancas até que todas as vermelhas sejam tiradas.
A fórmula para essa probabilidade é:
Passo 5
Portanto, resumindo:
Resposta
a) A probabilidade de tirar todas as
bolas vermelhas antes de qualquer bola branca é:
b) A probabilidade de tirar todas as
bolas vermelhas antes de tirar duas bolas brancas é: