Suponha que uma caixa contenha r bolas vermelhas e w bolas brancas. Suponha também que bolas são retiradas da caixa uma por vez, aleatoriamente, sem reposição. (a) Qual é a probabilidade que todas as r bolas vermelhas sejam obtidas antes de qualquer bola branca? (b) Qual é a probabilidade que todas r bolas vermelhas serão obtidas antes que duas bolas brancas sejam obtidas?

Passo 1

Beleza, então vamos lá! Você tem uma caixa com r bolas vermelhas e w bolas brancas. A gente vai tirar as bolas uma por vez, de forma aleatória e sem colocar de volta. O objetivo aqui é calcular duas probabilidades:
a) A probabilidade de tirar todas as r bolas vermelhas antes de tirar qualquer bola branca.
b) A probabilidade de tirar todas as r bolas vermelhas antes de tirar duas bolas brancas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, que envolve contar de quantas formas os eventos podem acontecer.

Passo 2

Parte a) Primeiro, queremos saber a probabilidade de tirar todas as bolas vermelhas antes de tirar qualquer branca. Ou seja, as primeiras r retiradas devem ser todas vermelhas.
Para entender isso, vamos pensar em todas as possíveis ordens de tirar as bolas e ver quantas delas começam com todas as r bolas vermelhas.
O total de bolas na caixa é r + w. A quantidade de maneiras de ordenar todas as bolas é (r + w)!.
Mas queremos que as primeiras r bolas sejam vermelhas. Há r! maneiras de organizar as bolas vermelhas e w! maneiras de organizar as brancas após elas.
Então, a probabilidade é:
P = r! times w!(r + w)!

Passo 3

Isso simplifica a expressão usando combinações. A probabilidade pode ser reescrita como:
P = 1binomr + wr
onde binomr + wr é o número de combinações de r bolas vermelhas em r + w bolas totais.

Passo 4

Parte b) Agora, queremos a probabilidade de tirar todas as r bolas vermelhas antes de tirar duas bolas brancas.
Isso significa que, durante o processo de retirada, nunca teremos duas bolas brancas antes de todas as vermelhas serem retiradas.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de caminhos sem rejeições, similar ao problema de catalan.
A ideia é contar o número de sequências onde as vermelhas sempre “superam” as brancas até que todas as vermelhas sejam tiradas.
A fórmula para essa probabilidade é:
P = r + 1binomr + w + 1r

Passo 5

Portanto, resumindo:

Resposta

a) A probabilidade de tirar todas as r bolas vermelhas antes de qualquer bola branca é:
P = 1dbinomr + wr
b) A probabilidade de tirar todas as r bolas vermelhas antes de tirar duas bolas brancas é:
P = r + 1dbinomr + w + 1r

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