Seja A=(1,1,1,0), B=(0,1,1,1) e C=(1,1,0,0) três vectores de V4. (b) Obter um vector D não nulo tal que A, B, C, D sejam dependentes.

Passo 1

O enunciado dá três vetores
A=(1,1,1,0), B=(0,1,1,1), C=(1,1,0,0)
em V4 e pede um vetor não nulo D tal que A,B,C,D seja linearmente dependente. O conteúdo é independência e dependência lineares: para ter dependência ao adicionar D, basta que D esteja no span de A,B,C.

Passo 2

Primeiro confirmamos que
Isso dá o sistema de coordenadas:
Da última equação vem , e daí . Logo só há solução trivial, e são independentes.

Passo 3

Para que A,B,C,D seja dependente, basta escolher Dneq0 em SpanA,B,C. Por exemplo, tomemos
D=A+B+C
Essa combinação é não trivial e garante dependência.

Resposta

D = A + B + C = (1+0+1,;1+1+1,;1+1+0,;0+1+0) = (2,3,2,1)

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