Consideremos os três vectores A=i, B=i+j, C=i+j+3 k em V3. (d) Provar que A, B, C é uma base de V3.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em V3 (que identificamos com R^3):
A = i = (1,0,0), B = i + j = (1,1,0), C = i + j + 3,k = (1,1,3)
Queremos mostrar que A,B,C é base de V3. Lembrando que, em R^3, um conjunto de três vetores é base se, e somente se, for linearmente independente (pois então tem dimensão máxima e gera todo o espaço).

Passo 2

Escrevemos os vetores como colunas de uma matriz M de ordem 3times3:
M = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 3 ,
onde a primeira coluna é A, a segunda é B e a terceira é C.

Passo 3

Calculamos o determinante de M. Sendo M triangular superior, temos
det(M) = 1 cdot 1 cdot 3 = 3
Como det(M)neq 0, as colunas de M são linearmente independentes.

Passo 4

Em R^3, qualquer conjunto de três vetores linearmente independentes possui dimensão igual a 3 e, portanto, gera todo o espaço. Logo, A,B,C é linearmente independente e também é geradora de V3, ou seja, forma uma base.

Resposta

A,B,C é uma base de V3, pois o determinante da matriz cujas colunas são A, B e C é igual a 3neq0, garantindo a independência linear e o fato de gerar todo o espaço.

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