Consideremos os três vectores . (d) Provar que é uma base de .
Passo 1
O enunciado dá três vetores em (que identificamos com ):
Queremos mostrar que é base de . Lembrando que, em , um conjunto de três vetores é base se, e somente se, for linearmente independente (pois então tem dimensão máxima e gera todo o espaço).
Passo 2
Escrevemos os vetores como colunas de uma matriz de ordem :
onde a primeira coluna é A, a segunda é B e a terceira é C.
Passo 3
Calculamos o determinante de M. Sendo M triangular superior, temos
det(M) = 1 cdot 1 cdot 3 = 3
Como det(M)neq 0, as colunas de M são linearmente independentes.
Passo 4
Em R^3, qualquer conjunto de três vetores linearmente independentes possui dimensão igual a 3 e, portanto, gera todo o espaço. Logo, A,B,C é linearmente independente e também é geradora de V3, ou seja, forma uma base.
Resposta
A,B,C é uma base de V3, pois o determinante da matriz cujas colunas são A, B e C é igual a 3neq0, garantindo a independência linear e o fato de gerar todo o espaço.