Encontre D \in \overline{A B} tal que \overline{C D} \perp \overline{A B}.
Passo 1
O enunciado dá os vértices do triângulo e pede um ponto D sobre o segmento \overline{AB} tal que o segmento \overline{CD} seja perpendicular a \overline{AB}. Dados fornecidos:
Pergunta: encontrar \mathbf{D}\in\overline{AB} tal que \overline{CD}\perp\overline{AB}.]
Passo 2
Parametrizo o ponto D que está em \overline{AB} como um ponto sobre a reta que passa por A na direção \overrightarrow{AB}. Ou seja, existe um escalar t tal que
\mathbf{D}=\mathbf{A}+t\,\overrightarrow{AB}.
Aqui \overrightarrow{AB}=\mathbf{B}-\mathbf{A}. Quando t está entre 0 e 1 o ponto \mathbf{D} fica realmente no segmento entre A e B.
Passo 3
Condição de perpendicularidade: dois vetores são perpendiculares se e somente se o produto escalar entre eles é zero. Portanto queremos
Essa é a fórmula padrão para a projeção do vetor \mathbf{C}-\mathbf{A} sobre \overrightarrow{AB} em termos do parâmetro ao longo de \overrightarrow{AB}.
Passo 5
Agora calculo os vetores e os produtos escalares com os números dados: