Seja triangle A B C tal que:
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] \quad \mathbf{B}=\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \\\\ 3 \end{array}\right] \quad \mathbf{C}=\left[\begin{array}{c} 4 \\\\ -1 \\\\ 2 \end{array}\right]
Encontre D \in \overline{A B} tal que \overline{C D} \perp \overline{A B}.

Passo 1

O enunciado dá os vértices do triângulo e pede um ponto D sobre o segmento \overline{AB} tal que o segmento \overline{CD} seja perpendicular a \overline{AB}. Dados fornecidos:
\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix},\qquad \mathbf{B}=\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]3\end{bmatrix},\qquad \mathbf{C}=\begin{bmatrix}4\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{bmatrix}.
Pergunta: encontrar \mathbf{D}\in\overline{AB} tal que \overline{CD}\perp\overline{AB}.]

Passo 2

Parametrizo o ponto D que está em \overline{AB} como um ponto sobre a reta que passa por A na direção \overrightarrow{AB}. Ou seja, existe um escalar t tal que
\mathbf{D}=\mathbf{A}+t\,\overrightarrow{AB}.
Aqui \overrightarrow{AB}=\mathbf{B}-\mathbf{A}. Quando t está entre 0 e 1 o ponto \mathbf{D} fica realmente no segmento entre A e B.

Passo 3

Condição de perpendicularidade: dois vetores são perpendiculares se e somente se o produto escalar entre eles é zero. Portanto queremos
(\mathbf{C}-\mathbf{D})\cdot\overrightarrow{AB}=0.
Substituindo \mathbf{D}=\mathbf{A}+t\,\overrightarrow{AB} obtemos uma equação escalar para t.

Passo 4

Faço a substituição e manipulo algebricamente (cada passo em forma clara):
(\mathbf{C}-\mathbf{D})\cdot\overrightarrow{AB}=(\mathbf{C}-\mathbf{A}-t\,\overrightarrow{AB})\cdot\overrightarrow{AB}=0.
Distribuindo o produto escalar:
(\mathbf{C}-\mathbf{A})\cdot\overrightarrow{AB}-t\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=0.
Isolando t:
t=\frac{(\mathbf{C}-\mathbf{A})\cdot\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}}.
Essa é a fórmula padrão para a projeção do vetor \mathbf{C}-\mathbf{A} sobre \overrightarrow{AB} em termos do parâmetro ao longo de \overrightarrow{AB}.

Passo 5

Agora calculo os vetores e os produtos escalares com os números dados:
\overrightarrow{AB}=\mathbf{B}-\mathbf{A}= \begin{bmatrix}2-1\\[4pt]1-0\\[4pt]3-1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]2\end{bmatrix}, \qquad \mathbf{C}-\mathbf{A}= \begin{bmatrix}4-1\\[4pt]-1-0\\[4pt]2-1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}3\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{bmatrix}.
Calculo os produtos escalares:
(\mathbf{C}-\mathbf{A})\cdot\overrightarrow{AB}=3\cdot1+(-1)\cdot1+1\cdot2=3-1+2=4,
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=1^2+1^2+2^2=1+1+4=6.]

Passo 6

Substituo na fórmula para t:
t=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
Observação útil: t=\tfrac{2}{3}\in[0,1], logo o ponto D está de fato no segmento \overline{AB} entre A e B.

Passo 7

Calculo as coordenadas de \mathbf{D}=\mathbf{A}+t\,\overrightarrow{AB}:
\mathbf{D}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix}+\frac{2}{3}\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1+\tfrac{2}{3}\\[4pt]0+\tfrac{2}{3}\\[4pt]1+\tfrac{4}{3}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\tfrac{5}{3}\\[4pt]\tfrac{2}{3}\\[4pt]\tfrac{7}{3}\end{bmatrix}.]

Passo 8

Checagem rápida: o vetor \mathbf{C}-\mathbf{D} vale
\mathbf{C}-\mathbf{D}=\begin{bmatrix}4\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\tfrac{5}{3}\\[4pt]\tfrac{2}{3}\\[4pt]\tfrac{7}{3}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\tfrac{7}{3}\\[4pt]-\tfrac{5}{3}\\[4pt]-\tfrac{1}{3}\end{bmatrix}.
Produto escalar com \overrightarrow{AB}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]2\end{bmatrix}:
(\mathbf{C}-\mathbf{D})\cdot\overrightarrow{AB}=\tfrac{7}{3}\cdot1+\left(-\tfrac{5}{3}\right)\cdot1+\left(-\tfrac{1}{3}\right)\cdot2 =\tfrac{7-5-2}{3}=0.
Isso confirma que \overline{CD}\perp\overline{AB}.]

Resposta

\displaystyle \mathbf{D}=\begin{bmatrix}\tfrac{5}{3}\\[6pt]\tfrac{2}{3}\\[6pt]\tfrac{7}{3}\end{bmatrix}]

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