Seja triangle A B C tal que:
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] \quad \mathbf{B}=\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \\\\ 3 \end{array}\right] \quad \mathbf{C}=\left[\begin{array}{c} 4 \\\\ -1 \\\\ 2 \end{array}\right]
Encontre o ponto de intersecção das medianas de \triangle A B C.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vértices do triângulo e pede o ponto de interseção das medianas. Dados fornecidos:
\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix},\qquad \mathbf{B}=\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]3\end{bmatrix},\qquad \mathbf{C}=\begin{bmatrix}4\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{bmatrix}.
Pergunta a responder: encontrar o ponto de interseção das medianas de \triangle ABC (ou seja, o centróide do triângulo) em coordenadas vetoriais.]

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma mediana e uma propriedade útil (vou explicar e demonstrar): uma mediana é o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Uma propriedade importante e muito usada em provas é que as três medianas concorrem num ponto chamado centróide, e esse centróide tem coordenadas iguais à média aritmética das coordenadas dos três vértices. Em fórmula vetorial:
\mathbf{G}=\frac{\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}}{3}.
Aqui \mathbf{G} é o vetor posição do centróide; a divisão por 3 significa dividir cada componente do vetor soma por 3.

Passo 3

Para deixar totalmente claro por que essa fórmula funciona, mostro uma prova curta e concreta (útil para citar na prova): calcule o ponto médio de BC:
\mathbf{M}_{BC}=\frac{\mathbf{B}+\mathbf{C}}{2}.
A mediana a partir de A é o segmento de A a \mathbf{M}_{BC}. Um ponto genérico nessa mediana pode ser escrito por parâmetro t assim:
\mathbf{r}(t)=\mathbf{A}+t\big(\mathbf{M}_{BC}-\mathbf{A}\big)=\mathbf{A}+t\Big(\frac{\mathbf{B}+\mathbf{C}}{2}-\mathbf{A}\Big).
O centróide está a uma distância de 2/3 do vértice ao longo da mediana (essa é outra propriedade padrão; a demonstração segue do cálculo que faremos). Tomando t=\tfrac{2}{3} obtemos:
\mathbf{r}\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\mathbf{A}+\tfrac{2}{3}\Big(\frac{\mathbf{B}+\mathbf{C}}{2}-\mathbf{A}\Big).
Agora desenvolvendo:
\mathbf{r}\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\mathbf{A}+\tfrac{2}{3}\cdot\frac{\mathbf{B}+\mathbf{C}}{2}-\tfrac{2}{3}\mathbf{A} =\Big(1-\tfrac{2}{3}\Big)\mathbf{A}+\tfrac{1}{3}(\mathbf{B}+\mathbf{C}) =\tfrac{1}{3}\mathbf{A}+\tfrac{1}{3}\mathbf{B}+\tfrac{1}{3}\mathbf{C} =\frac{\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}}{3}.
Pronto: o ponto obtido é exatamente a média dos três vetores, o que confirma a fórmula da etapa anterior. Na prova, é aceitável usar diretamente \mathbf{G}=(\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C})/3.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula: primeiro somamos os vetores \mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C} componente a componente. Calcule:
\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C} =\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]3\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}4\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1+2+4\\[4pt]0+1+(-1)\\[4pt]1+3+2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}7\\[4pt]0\\[4pt]6\end{bmatrix}.]

Passo 5

Agora dividimos essa soma por 3 para obter o centróide:
\mathbf{G}=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}7\\[4pt]0\\[4pt]6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\tfrac{7}{3}\\[4pt]0\\[4pt]2\end{bmatrix}.
Portanto o ponto de interseção das medianas tem essas coordenadas.]

Resposta

\displaystyle \mathbf{G}=\begin{bmatrix}\tfrac{7}{3}\\[4pt]0\\[4pt]2\end{bmatrix}]

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