Seja uma tubulação de aço (\varepsilon=0,045 \mathrm{~mm}) de seção circular de diâmetro 45 \mathrm{~cm} . \mathrm{O} fluido é óleo ( v_{\mathrm{cn}}=1,06 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ) e a vazão é 190 \mathrm{~L} / \mathrm{s}.
a) Calcule o número de Reynolds. Qual o regime do escoamento?
\boldsymbol{(} \mathbf{R e} \boldsymbol{=} \mathbf{5 0 . 7 1 6}; turbulento)
b) Qual o valor do fator de atrito? Use a equação de Swamee-Jaine ou o Diagrama de Moody.
\boldsymbol{(} \mathbf{f} \boldsymbol{=} \mathbf{0 , 0 2 1} \boldsymbol{)}
c) Determinar a perda de carga por km de comprimento da tubulação.
( \boldsymbol{\Delta} \mathbf{H} \boldsymbol{=} \mathbf{3 , 4 0} \mathbf{~ m} por \mathbf{~ k m} de tubulação)

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumidos, exatamente o que foi dado):
\varepsilon=0{,}045\\ \mathrm{mm} (rugosidade da tubulação),
diâmetro D=45\\ \mathrm{cm},
fluido: óleo com viscosidade cinemática \nu=1{,}06\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s},
vazão Q=190\\ \mathrm{L/s}.
Perguntas pedidas:
  1. Calcular o número de Reynolds e identificar o regime de escoamento.
  2. Determinar o fator de atrito f (usar Swamee–Jain ou diagrama de Moody).
  3. Determinar a perda de carga por 1\\ \mathrm{km} da tubulação (ou seja \Delta H por 1000\\ \mathrm{m}).

Passo 2

Converter unidades e calcular área da seção e velocidade média (essas coisas são necessárias antes do Reynolds).
Converter rugosidade para metros:
\varepsilon=0{,}045\\ \mathrm{mm}=0{,}045\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=4{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Converter diâmetro para metros:
D=45\\ \mathrm{cm}=0{,}45\\ \mathrm{m}.
Converter vazão para \mathrm{m^{3}/s}:
Q=190\\ \mathrm{L/s}=190\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s}=0{,}190\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Área da seção circular (fórmula: área = \pi D^{2}/4; aqui \pi é a constante 3{,}14159…):
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}45)^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot0{,}2025}{4}=0{,}15904\\ \mathrm{m^{2}}\\ \text{(aprox.)}.
Velocidade média na tubulação (fórmula: V=Q/A):
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}190}{0{,}15904}=1{,}195\\ \mathrm{m/s}\\ \text{(aprox.)}.
Observação: calculei A e V passo a passo para usar nas fórmulas seguintes.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds e classificar o regime.
Fórmula do número de Reynolds para escoamento interno em tubo:
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu},
onde V é a velocidade média do fluido ( \mathrm{m/s}), D é o diâmetro ( \mathrm{m}) e \nu é a viscosidade cinemática ( \mathrm{m^{2}/s}).
Substituindo os valores obtidos:
\mathrm{Re}=\frac{1{,}195\times0{,}45}{1{,}06\times10^{-5}}=\frac{0{,}53775}{1{,}06\times10^{-5}}=50716\\ \text{(aprox.)}.
Classificação do regime (critério usual para tubos lisos/industriais):
  • \mathrm{Re}<2000: laminar;
  • 2000\lesssim\mathrm{Re}\lesssim4000: regime de transição;
  • \mathrm{Re}>4000: turbulento.
    Como \mathrm{Re}\approx50716\gg4000, o escoamento é claramente turbulento.

Passo 4

Escolher método para o fator de atrito e explicar a fórmula Swamee–Jain.
Porque o escoamento é turbulento e temos rugosidade conhecida, a fórmula explícita de Swamee–Jain é adequada e rápida (equivalente ao uso do diagrama de Moody). A fórmula de Swamee–Jain para o fator de atrito de Darcy ( f) é:
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}},
onde \varepsilon é a rugosidade absoluta, D o diâmetro e \mathrm{Re} o número de Reynolds. Explicando: o termo \varepsilon/(3{,}7D) representa o efeito da rugosidade relativa; o termo 5{,}74/\mathrm{Re}^{0{,}9} representa o efeito da viscosidade (Reynolds). A função \log_{10} é o logaritmo na base 10.
Calcular a rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{4{,}5\times10^{-5}}{0{,}45}=1{,}0\times10^{-4}.
Calcular os termos dentro do logaritmo:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{1{,}0\times10^{-4}}{3{,}7}=2{,}7027\times10^{-5}.
Calcular \mathrm{Re}^{0{,}9}:
\mathrm{Re}^{0{,}9}=50716^{0{,}9}\approx1{,}7169\times10^{4}.
Logo
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=\frac{5{,}74}{1{,}7169\times10^{4}}=3{,}344\times10^{-4}.
Somando os dois termos:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=2{,}7027\times10^{-5}+3{,}344\times10^{-4}=3{,}6143\times10^{-4}.
Aplicar o logaritmo e a fórmula:
\log_{10}(3{,}6143\times10^{-4})=-3{,}4410\\ \text{(aprox.)},
\left[\log_{10}(\cdots)\right]^{2}=(-3{,}4410)^{2}=11{,}844.
Finalmente:
f=\frac{0{,}25}{11{,}844}=0{,}0211\\ \text{(aprox.)}.
Arredondando de forma prática para prova: f\approx0{,}021. Isto concorda com leitura no diagrama de Moody para \varepsilon/D=1\times10^{-4} e \mathrm{Re}\sim5{,}0\times10^{4}.

Passo 5

Calcular a perda de carga por 1\\ \mathrm{km} usando a equação de Darcy–Weisbach.
A equação de Darcy–Weisbach para perda de carga total (carga de energia perdida por atrito) é:
\Delta H = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g},
onde \Delta H é a perda de carga em metros, f é o fator de atrito (adimensional), L é o comprimento da tubulação (m), D é o diâmetro (m), V é a velocidade média (m/s) e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} é a aceleração da gravidade.
Queremos \Delta H por L=1000\\ \mathrm{m}. Primeiro calculemos a cabeça cinética por unidade de gravidade:
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{(1{,}195)^{2}}{2\times9{,}81}=\frac{1{,}4276}{19{,}62}=0{,}07279\\ \mathrm{m}.
Calcular L/D:
\frac{L}{D}=\frac{1000}{0{,}45}=2222{,}222\\ \text{(adimensional)}.
Agora calcular \Delta H:
\Delta H=f\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{V^{2}}{2g}=0{,}0211\times2222{,}222\times0{,}07279=3{,}41\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática: \Delta H\approx3{,}40\\ \mathrm{m} por 1\\ \mathrm{km} de tubulação.

Resposta

\mathrm{Re}=50716 (turbulento)
f=0{,}021
\Delta H=3{,}40\\ \mathrm{m\\ por\\ km}

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