Considere o produto interno usual no
. Determine os valores de
para os quais os vetores
e
são ortogonais.
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores da incógnita para os quais os vetores são ortogonais. Vou interpretar que a incógnita é
(pois os vetores estão dados em função de
).\n
Os dados são os vetores
Os dados são os vetores
e a pergunta é: para quais valores de
os vetores
e
são ortogonais?
Passo 2
Explicação do conceito que vamos usar (passo-a-passo didático e sem pular etapas): dois vetores em
são ortogonais exatamente quando o produto interno (produto escalar) entre eles é zero. Para vetores
e
o produto interno é definido por
Aqui cada
e
é a componente correspondente dos vetores; o produto interno é uma soma de produtos de componentes.
Passo 3
Aplicamos essa definição aos vetores
e
. A condição de ortogonalidade é
Calculando
usando as componentes dadas:
Passo 4
Agora vamos simplificar a expressão passo a passo. Primeiro, note que
é uma diferença de quadrados; isso simplifica assim:
Também
. Substituindo na soma:
A condição
vira então
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática
. Isso é um caso simples: podemos fatorar como diferença de quadrados,
Para que o produto seja zero, uma das parcelas deve ser zero, logo
o que dá
Passo 6
Verificação rápida (para fixar a ideia): substituir
em
:
Substituir
:
Em ambos os casos o produto interno é zero, confirmando que os vetores são ortogonais nesses valores.