Considere o produto interno usual no \mathbb{R}^{3}. Determine os valores de k para os quais os vetores u e v são ortogonais.
u=(0, m-1,4) e v=(8, m+1,-2)

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores da incógnita para os quais os vetores são ortogonais. Vou interpretar que a incógnita é m (pois os vetores estão dados em função de m).\n
Os dados são os vetores
u = (0,\; m-1,\; 4)
v = (8,\; m+1,\; -2)
e a pergunta é: para quais valores de m os vetores u e v são ortogonais?

Passo 2

Explicação do conceito que vamos usar (passo-a-passo didático e sem pular etapas): dois vetores em \mathbb{R}^3 são ortogonais exatamente quando o produto interno (produto escalar) entre eles é zero. Para vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) o produto interno é definido por
a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
Aqui cada a_i e b_i é a componente correspondente dos vetores; o produto interno é uma soma de produtos de componentes.

Passo 3

Aplicamos essa definição aos vetores u e v. A condição de ortogonalidade é
u\cdot v = 0.
Calculando u\cdot v usando as componentes dadas:
u\cdot v = 0\cdot 8 + (m-1)(m+1) + 4\cdot(-2).

Passo 4

Agora vamos simplificar a expressão passo a passo. Primeiro, note que (m-1)(m+1) é uma diferença de quadrados; isso simplifica assim:
(m-1)(m+1) = m^2 - 1.
Também 4\cdot(-2) = -8. Substituindo na soma:
u\cdot v = m^2 - 1 - 8 = m^2 - 9.
A condição u\cdot v = 0 vira então
m^2 - 9 = 0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática m^2 - 9 = 0. Isso é um caso simples: podemos fatorar como diferença de quadrados,
m^2 - 9 = (m-3)(m+3).
Para que o produto seja zero, uma das parcelas deve ser zero, logo
m-3 = 0 \quad\text{ou}\quad m+3 = 0,
o que dá
m = 3 \quad\text{ou}\quad m = -3.

Passo 6

Verificação rápida (para fixar a ideia): substituir m=3 em u\cdot v:
0\cdot 8 + (3-1)(3+1) + 4(-2) = 0 + 2\cdot 4 - 8 = 8 - 8 = 0.
Substituir m=-3:
0\cdot 8 + (-3-1)(-3+1) + 4(-2) = 0 + (-4)(-2) - 8 = 8 - 8 = 0.
Em ambos os casos o produto interno é zero, confirmando que os vetores são ortogonais nesses valores.

Resposta

m=3
m=-3

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