Seja
um campo de forças com
e
definidas e contínuas no aberto
de
. Se
for conservativo então existirá uma função escalar
definida em A tal que
em
. Uma tal função denomina-se função energia potencial associada ao campo
. Determine, caso exista, a função energia potencial associada ao campo
dado e satisfazendo a condição dada.
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- Campo de forças:
. - Logo, as componentes são
e . - Foi dada a condição inicial/valor:
. - Pede-se: determinar, se existir, a função energia potencial
definida em tal que em .
Passo 2
Entendendo a relação
. Escrevendo em componentes, isso significa:
Portanto as igualdades entre componentes são
Aqui
denota a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial em relação a
(tratando
como constante). Vamos usar essas fórmulas para encontrar
.
Passo 3
Aplicando as fórmulas aos
e
do problema:
Antes de integrar, é bom checar rapidamente a condição de conservatividade (compatibilidade das derivadas mistas). Calculemos
Como
(ambas zero), o campo é consistente com ser conservativo em um domínio simplesmente conexo — então existe
localmente/globalmente e podemos prosseguir.
Passo 4
Integramos
em relação a
, tratando
como constante. Integração parcial significa encontrar uma função cuja derivada parcial em
seja
. Assim:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque ao derivar em
essa função some).
Passo 5
Agora usamos a informação
para determinar
. Diferenciando a expressão obtida para
em relação a
(agora
é tratado como constante) temos
Mas já sabemos que
. Portanto
Integramos em relação a
:
onde
é uma constante real.
Passo 6
Substituindo
em
obtemos a família de potenciais
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Logo
.
Passo 7
Portanto a função energia potencial que satisfaz
e
é
Como verificação rápida, calculemos
:
que coincide com
, ou seja, está correto.