Seja \vec{F}(x, y)=P(x, y) \vec{i}+Q(x, y) \vec{j} um campo de forças com P e Q definidas e contínuas no aberto A de \mathbb{R}^{2}. Se \vec{F} for conservativo então existirá uma função escalar U(x, y) definida em A tal que \vec{F}=-\nabla U em A. Uma tal função denomina-se função energia potencial associada ao campo \vec{F}. Determine, caso exista, a função energia potencial associada ao campo \vec{F} dado e satisfazendo a condição dada.
\vec{F}(x, y)=-6 x \vec{i}-2 y \vec{j} e U(0,0)=0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Campo de forças: \vec{F}(x,y)=-6x\,\vec{i}-2y\,\vec{j}.
  • Logo, as componentes são P(x,y)=-6x e Q(x,y)=-2y.
  • Foi dada a condição inicial/valor: U(0,0)=0.
  • Pede-se: determinar, se existir, a função energia potencial U(x,y) definida em A tal que \vec{F}=-\nabla U em A.

Passo 2

Entendendo a relação \vec{F}=-\nabla U. Escrevendo em componentes, isso significa:
\vec{F}=P\,\vec{i}+Q\,\vec{j} = -\big(U_x\,\vec{i}+U_y\,\vec{j}\big).
Portanto as igualdades entre componentes são
U_x = -P,\qquad U_y = -Q.
Aqui U_x denota a derivada parcial de U em relação a x (tratando y como constante) e U_y é a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante). Vamos usar essas fórmulas para encontrar U.

Passo 3

Aplicando as fórmulas aos P e Q do problema:
P(x,y)=-6x \implies U_x = -P = -(-6x)=6x,
Q(x,y)=-2y \implies U_y = -Q = -(-2y)=2y.
Antes de integrar, é bom checar rapidamente a condição de conservatividade (compatibilidade das derivadas mistas). Calculemos
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-6x)=0,
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-2y)=0.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x (ambas zero), o campo é consistente com ser conservativo em um domínio simplesmente conexo — então existe U localmente/globalmente e podemos prosseguir.

Passo 4

Integramos U_x=6x em relação a x, tratando y como constante. Integração parcial significa encontrar uma função cuja derivada parcial em x seja 6x. Assim:
U(x,y)=\int 6x\,dx = 3x^{2} + g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque ao derivar em x essa função some).

Passo 5

Agora usamos a informação U_y=2y para determinar g(y). Diferenciando a expressão obtida para U em relação a y (agora x é tratado como constante) temos
U_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}+g(y)\big) = g'(y).
Mas já sabemos que U_y=2y. Portanto
g'(y)=2y.
Integramos em relação a y:
g(y)=\int 2y\,dy = y^{2} + C,
onde C é uma constante real.

Passo 6

Substituindo g(y) em U obtemos a família de potenciais
U(x,y)=3x^{2}+y^{2}+C.
Usamos a condição inicial U(0,0)=0 para encontrar C:
U(0,0)=3\cdot 0^{2}+0^{2}+C=C=0.
Logo C=0.

Passo 7

Portanto a função energia potencial que satisfaz \vec{F}=-\nabla U e U(0,0)=0 é
U(x,y)=3x^{2}+y^{2}.
Como verificação rápida, calculemos -\nabla U:
-\nabla U = -\big(U_x\,\vec{i}+U_y\,\vec{j}\big) = -(6x\,\vec{i}+2y\,\vec{j}) = -6x\,\vec{i}-2y\,\vec{j},
que coincide com \vec{F}, ou seja, está correto.

Resposta

U(x,y)=3x^{2}+y^{2}

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