Seja S a união do cilindro x^2+y^2=1,0 <= z <= 1, com a porção do plano z=0, x^2+y^2 <= 1 orientada com vetor normal exterior, e seja F(x, y, z)=(z x+z^2 y+x, z^3 y x+y, z^4 x^2). Calcule integralegral duplaR(rot F cdot n) d S
Usando o Teorema de Gauss.

Passo 1

O exercício pede para calcular integral duplaS(rot,vec Fcdotvec n),dS num cilindro com base e orientação externa, usando o Teorema de Gauss (divergência). Vamos precisar do conceito de rotacional, da divergência do rotacional e de como fechar a superfície para aplicar o teorema.

Passo 2

Como a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é zero ( nablacdot(nablatimesvec F)=0), o fluxo de nablatimesvec F através de uma superfície fechada vale zero. Para usar isso, fechamos S adicionando a tampa superior z=1, obtendo a fronteira de um volume.
Chamando S1 o cilindro mais a base em z=0 (que é o nosso S) e S2 a tampa em z=1, temos
0=integral duplaS1(nablatimesvec F)cdotvec n,dS+integral duplaS2(nablatimesvec F)cdotvec n,dS
Logo
integral duplaS(nablatimesvec F)cdotvec n,dS= -integral duplaS2(nablatimesvec F)cdotvec n,dS

Passo 3

Precisamos então de nablatimesvec F. Escrevendo vec F=(P,Q,R)=(zx+z^2y+x, zx^3y+y, z^4x^2), o rotacional é
nablatimesvec F= l(Ry - Qz, Pz - Rx, Qx - Pyr)
Calculando as derivadas: Ry=0, Qz=3z^2xy, Pz=x+2zy, Rx=2xz^4, Qx=z^3y, Py=z^2. Assim
nablatimesvec F =(-3z^2xy, x+2zy-2xz^4, z^3y - z^2)

Passo 4

Sobre a tampa em z=1, o vetor normal externo é vec n= k. Substituindo z=1 no rotacional:
(nablatimesvec F)|z=1=(-3xy, -x+2y, y-1)
Então
(nablatimesvec F)cdotvec n = y-1

Passo 5

Falta só integrar sobre o disco unitário em z=1:
integral duplax^2+y^2<=1(y-1),dA =integral duplaDy,dA - integral duplaD1,dA
Pela simetria integral duplaDy,dA=0 e integral duplaD1,dA=pi. Logo o fluxo pela tampa vale -pi. Então o fluxo através de S é
$ -(-\pi)=\pi.$

Resposta

pi

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