Seja 
  a união do cilindro 
 , com a porção do plano 
  orientada com vetor normal exterior, e seja 
 . Calcule 
Usando o Teorema de Gauss.
Usando o Teorema de Gauss.
Passo 1
O exercício pede para calcular 
  num cilindro com base e orientação externa, usando o Teorema de Gauss (divergência). Vamos precisar do conceito de rotacional, da divergência do rotacional e de como fechar a superfície para aplicar o teorema.
Passo 2
Como a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é zero (
 ), o fluxo de 
  através de uma superfície fechada vale zero. Para usar isso, fechamos 
  adicionando a tampa superior 
 , obtendo a fronteira de um volume.
Chamando  o cilindro mais a base em 
  (que é o nosso 
 ) e 
  a tampa em 
 , temos
Chamando
Logo
Passo 3
Precisamos então de 
 . Escrevendo 
 , o rotacional é
Calculando as derivadas: 
 , 
 , 
 , 
 , 
 , 
 . Assim
Passo 4
Sobre a tampa em 
 , o vetor normal externo é 
 . Substituindo 
  no rotacional:
Então
Passo 5
Falta só integrar sobre o disco unitário em 
 :
Pela simetria 
  e 
 . Logo o fluxo pela tampa vale 
 . Então o fluxo através de 
  é
$ -(-\pi)=\pi.$
$ -(-\pi)=\pi.$