Seja
a união do cilindro
, com a porção do plano
orientada com vetor normal exterior, e seja
. Calcule
Usando o Teorema de Gauss.
Usando o Teorema de Gauss.
Passo 1
O exercício pede para calcular
num cilindro com base e orientação externa, usando o Teorema de Gauss (divergência). Vamos precisar do conceito de rotacional, da divergência do rotacional e de como fechar a superfície para aplicar o teorema.
Passo 2
Como a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é zero (
), o fluxo de
através de uma superfície fechada vale zero. Para usar isso, fechamos
adicionando a tampa superior
, obtendo a fronteira de um volume.
Chamando o cilindro mais a base em
(que é o nosso
) e
a tampa em
, temos
Chamando
Logo
Passo 3
Precisamos então de
. Escrevendo
, o rotacional é
Calculando as derivadas:
,
,
,
,
,
. Assim
Passo 4
Sobre a tampa em
, o vetor normal externo é
. Substituindo
no rotacional:
Então
Passo 5
Falta só integrar sobre o disco unitário em
:
Pela simetria
e
. Logo o fluxo pela tampa vale
. Então o fluxo através de
é
$ -(-\pi)=\pi.$
$ -(-\pi)=\pi.$