1. Seja v x=v x(x, t), o único componente de um escoamento em plano unidimensional e transiente para o qual a massa especifica varia de acordo \operatorname{com} \rho=\rho 0[2-\cos (\omega t)]. Determine a expressão para " vx ", se em \mathrm{x}=0 ; \mathrm{vx}=\mathrm{v} 0, para qualquer valor de " t ".

Passo 1

O enunciado dá um escoamento unidimensional e transiente com velocidade \,v_x(x,t) e densidade
\rho(t)=\rho_0\bigl[2-\cos(\omega t)\bigr]
que varia só no tempo. Queremos achar v_x(x,t) sabendo que em x=0 vale sempre v_x(0,t)=v_0. Para isso vamos usar a equação da continuidade (conservação de massa) em 1D.

Passo 2

A equação da continuidade em 1D é
\frac{\partial \rho}{\partial t} \;+\;\frac{\partial\bigl(\rho\,v_x\bigr)}{\partial x} \;=\;0.
Como \rho depende só de t, temos \partial(\rho v_x)/\partial x=\rho\,\partial v_x/\partial x. Logo
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_x}{\partial x} = 0.

Passo 3

Calculamos \partial\rho/\partial t:
\frac{\partial \rho}{\partial t} =\rho_0\;\frac{d}{dt}\bigl[2-\cos(\omega t)\bigr] =\rho_0\,\omega\,\sin(\omega t).

Passo 4

Substituindo na continuidade e dividindo por \rho(t) obtemos
\rho_0\,\omega\,\sin(\omega t)\;+\;\rho(t)\,\frac{\partial v_x}{\partial x}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial v_x}{\partial x} =-\frac{\rho_0\,\omega\,\sin(\omega t)}{\rho(t)} =-\frac{\omega\,\sin(\omega t)}{2-\cos(\omega t)}.

Passo 5

Integramos em x:
v_x(x,t) =\int \frac{\partial v_x}{\partial x}\,dx =-\,x\,\frac{\omega\,\sin(\omega t)}{2-\cos(\omega t)} + f(t),
onde f(t) é função de integração que depende só de t.

Passo 6

Usamos a condição v_x(0,t)=v_0, o que implica
v_x(0,t)= -0 + f(t)=v_0 \quad\Longrightarrow\quad f(t)=v_0.

Resposta

v_x(x,t) = v_0 \;-\; \frac{x\,\omega\,\sin(\omega t)}{2-\cos(\omega t)}.

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