\underline{5} - A partir da Equação de Fick para a taxa de difusão de A través de uma mistura binária dos componentes A e B, dada por:
\vec{N}_{A, z}=-c \cdot D_{A B} \frac{d y_{A}}{d z}+y_{A}\left(\vec{N}_{A, z}+\vec{N}_{B, z}\right)
Mostre que:
\vec{n}_{A, z}=-D_{A B} \frac{d \rho_{A}}{d z}+w_{A}\left(\vec{n}_{A, z}+\vec{n}_{B, z}\right)

Passo 1

O enunciado parte da forma molar da lei de Fick para uma mistura binária nos dizendo que
\vec{N}_{A,z} \;=\; -\,c\,D_{AB}\,\frac{d y_{A}}{d z}\;+\;y_{A}\,\bigl(\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}\bigr)
onde \vec{N}_{i,z} é o fluxo molar de i na direção z, c é a concentração molar total, y_{A} a fração molar de A e D_{AB} o coeficiente de difusão. Queremos chegar à forma análoga em base de massa, ou seja
\vec{n}_{A,z} \;=\; -\,D_{AB}\,\frac{d \rho_{A}}{d z}\;+\;w_{A}\,\bigl(\vec{n}_{A,z}+\vec{n}_{B,z}\bigr)
onde \vec{n}_{i,z} é o fluxo mássico de i, \rho_{A} a densidade de massa de A e w_{A} a fração mássica de A. Para isso vamos usar as definições de fluxo mássico e as relações entre as quantidades molares e mássicas.

Passo 2

Definimos o fluxo mássico de cada componente como
\vec{n}_{i,z} \;=\; M_{i}\,\vec{N}_{i,z}
onde M_{i} é o peso molecular de i. Multiplicando a expressão de \vec{N}_{A,z} por M_{A} obtemos
M_{A}\,\vec{N}_{A,z} \;=\; -\,M_{A}\,c\,D_{AB}\,\frac{d y_{A}}{d z}\;+\;M_{A}\,y_{A}\,\bigl(\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}\bigr).
Como M_{A}\,\vec{N}_{A,z}=\vec{n}_{A,z}, passamos para a forma mássica.

Passo 3

Reconhecemos que a densidade parcial de A é
\rho_{A} \;=\; M_{A}\,c\,y_{A}.
Logo,
M_{A}\,c\,\frac{d y_{A}}{d z} \;=\; \frac{d}{dz}\bigl(M_{A}\,c\,y_{A}\bigr) \;=\; \frac{d \rho_{A}}{d z}.
Portanto o termo difusivo fica exatamente
-\,M_{A}\,c\,D_{AB}\,\frac{d y_{A}}{d z} \;=\; -\,D_{AB}\,\frac{d \rho_{A}}{d z}.

Passo 4

Para tratar o termo convectivo M_{A}\,y_{A}(\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}) definimos as vazões totais:
\vec{N}_{\text{tot}} \;=\;\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}, \quad \vec{n}_{\text{tot}} \;=\;\vec{n}_{A,z}+\vec{n}_{B,z}.
Além disso, introduzimos a velocidade média do escoamento \vec{v} tal que
\vec{N}_{\text{tot}} = c\,\vec{v}, \quad \vec{n}_{\text{tot}} = \rho\,\vec{v},
onde \rho é a densidade total da mistura.

Passo 5

Usando \rho_{A}=M_{A}c\,y_{A} vemos que
M_{A}\,y_{A}\,\vec{N}_{\text{tot}} = M_{A}\,y_{A}\,(c\,\vec{v}) = \rho_{A}\,\vec{v}.
Por outro lado, a fração mássica de A é
w_{A} \;=\;\frac{\rho_{A}}{\rho},
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\rho_{A}\,\vec{v} = w_{A}\,\bigl(\rho\,\vec{v}\bigr) = w_{A}\,\vec{n}_{\text{tot}} = w_{A}\,\bigl(\vec{n}_{A,z}+\vec{n}_{B,z}\bigr).

Passo 6

Reunindo tudo no resultado do Passo 2, temos
\vec{n}_{A,z} = -\,D_{AB}\,\frac{d \rho_{A}}{d z} + w_{A}\,\bigl(\vec{n}_{A,z}+\vec{n}_{B,z}\bigr),
que é exatamente a forma desejada em base de massa.

Resposta

\boxed{ \vec{n}_{A,z} \;=\; -\,D_{AB}\,\frac{d \rho_{A}}{d z} \;+\; w_{A}\,\bigl(\vec{n}_{A,z}+\vec{n}_{B,z}\bigr) }

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