Determine a equação da superfície esférica de centro e tangente ao plano e determine qual é este ponto de tangência.
Passo 1
O enunciado pede a equação da esfera de centro e tangente ao plano
e ainda o ponto de tangência. Para isso vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano para obter o raio da esfera, depois escrever sua equação e, por fim, projetar o centro no plano ao longo da normal para achar o ponto de contato.
Passo 2
A distância de ao plano
é dada por
Passo 3
Logo, a equação da esfera de centro O e raio r=3 é
(x+2)^2 + (y-1)^2 + (z-3)^2 = 9
Passo 4
Para achar o ponto de tangência P, projetamos O no plano ao longo da normal n=(1,2,-2). O normal unitário é
n|n|=13(1,2,-2)
Como O está no lado em que a expressão do plano vale +9, subtraímos r vezes o normal unitário:
P = O - r,n|n| = (-2,1,3) - 3l(tfrac13,tfrac23,-tfrac23r) = (-3,-1,5)