Determine a equação da superfície esférica de centro O=(-2,1,3) e tangente ao plano x+2 y-2 z+15=0 e determine qual é este ponto de tangência.

Passo 1

O enunciado pede a equação da esfera de centro O=(-2,1,3) e tangente ao plano
x+2y-2z+15=0
e ainda o ponto de tangência. Para isso vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano para obter o raio r da esfera, depois escrever sua equação e, por fim, projetar o centro no plano ao longo da normal para achar o ponto de contato.

Passo 2

A distância de O ao plano
x+2y-2z+15=0
é dada por
r ;=;l|1cdot(-2)+2cdot1+(-2)cdot3+15r|raiz1^2+2^2+(-2)^2 =|-2+2-6+15|raiz1+4+4 =93 =3

Passo 3

Logo, a equação da esfera de centro O e raio r=3 é
(x+2)^2 + (y-1)^2 + (z-3)^2 = 9

Passo 4

Para achar o ponto de tangência P, projetamos O no plano ao longo da normal n=(1,2,-2). O normal unitário é
n|n|=13(1,2,-2)
Como O está no lado em que a expressão do plano vale +9, subtraímos r vezes o normal unitário:
P = O - r,n|n| = (-2,1,3) - 3l(tfrac13,tfrac23,-tfrac23r) = (-3,-1,5)
Verifique que esse ponto satisfaz x+2y-2z+15=0.

Resposta

(x+2)^2 + (y-1)^2 + (z-3)^2 = 9, P = (-3,-1,5)

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