Seja V um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique se eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam. Para quaisquer (a, b); (c, d) em V e
escalar real, sejam:
e a multiplicação escalar usual.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
- O conjunto é
, isto é, todos os pares com . - A operação de adição está definida por
- A multiplicação por escalar é a usual: para
,
O que se pede: verificar se com essas operações
é um espaço vetorial. Se não for, indicar quais axiomas de espaço vetorial falham.
Passo 2
Primeiro, lembro de forma simples e clara o que significa verificar um axioma: cada propriedade que eu testar será escrita explicitamente e depois eu calculo com as definições dadas para ver se ela vale para todos os vetores e escalares. Vou checar, passo a passo, os axiomas principais (fecho, comutatividade, associatividade da adição; existência do elemento neutro aditivo; existência de inversos aditivos; fecho da multiplicação escalar; propriedades da multiplicação escalar relativas à soma de vetores, soma de escalares, produto de escalares e neutralidade do escalar
).
Passo 3
Fecho da adição (se a soma de dois vetores de
fica em
).
Tomando , a soma definida é
. Esse par tem coordenadas reais, logo
.
Conclusão: o fecho da adição é satisfeito.
Tomando
Conclusão: o fecho da adição é satisfeito.
Passo 4
Comutatividade da adição.
Calculo
Calculo
e
Como
em
, os dois resultados coincidem.
Conclusão: a adição é comutativa.
Conclusão: a adição é comutativa.
Passo 5
Associatividade da adição.
Vou verificar e
.
Vou verificar
Primeiro,
então
Segundo,
então
Os dois lados são iguais.
Conclusão: a adição é associativa.
Conclusão: a adição é associativa.
Passo 6
Existência do elemento neutro aditivo (vetor zero
tal que
para todo
).
Procuro tal que para todo
,
Procuro
Pelo definido,
Para que isso seja igual a
para todo
precisamos que
para todo
. A primeira condição dá
, ok; a segunda exige
para todo
, o que é impossível. Portanto não existe elemento
em
que seja neutro aditivo para todos os vetores.
Conclusão: o axioma da existência do elemento neutro aditivo falha.
Conclusão: o axioma da existência do elemento neutro aditivo falha.
Passo 7
Consequência: existência de inversos aditivos.
Um axioma exige que para cada exista
tal que
(onde
é o neutro aditivo). Como no passo anterior vimos que não existe um
que funcione para todos os vetores, não faz sentido garantir a existência de inversos aditivos para todos os vetores. Em particular, não existem inversos aditivos uniformes para todos os vetores da forma exigida pelo axioma.
Conclusão: o axioma de inverso aditivo (existência de para todo
) também não é satisfeito.
Um axioma exige que para cada
Conclusão: o axioma de inverso aditivo (existência de
Passo 8
Fecho da multiplicação por escalar.
Para e
temos
, que é um par de reais e portanto pertence a
.
Conclusão: o fecho da multiplicação escalar é satisfeito.
Para
Conclusão: o fecho da multiplicação escalar é satisfeito.
Passo 9
Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de vetores:
.
Tomando e
,
Tomando
logo
Por outro lado,
e então
Os dois lados coincidem para todos
.
Conclusão: essa distributividade é satisfeita.
Conclusão: essa distributividade é satisfeita.
Passo 10
Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares:
.
Para calculo os dois lados:
Para
Lado esquerdo:
Lado direito:
então
Comparando, o primeiro tem segunda coordenada
e o segundo tem segunda coordenada
. Esses são iguais para todo
somente se
para todo
, o que não é verdade em geral (por exemplo escolher
e
). Logo, em geral
Conclusão: a propriedade
falha.
Passo 11
Compatibilidade com produto de escalares e neutralidade do escalar
.
- Compatibilidade:
. Também . Logo essa propriedade vale. - Identidade do escalar:
. Logo vale.
Passo 12
Resumo das verificações e interpretação final (motivação didática):
- Algumas propriedades básicas da adição (fecho, comutatividade, associatividade) funcionam porque a definição usa soma de coordenadas na primeira componente e força a segunda a ser
; isso preserva fechamento e dá comutatividade/associatividade. - O grande problema é que a soma sempre produz um vetor com segunda coordenada
. Para existir um elemento neutro aditivo que satisfaça para todo , a soma teria de preservar a segunda coordenada de ; como a soma sempre coloca na segunda coordenada, isso é impossível para vetores com segunda coordenada distinta de . Por isso não há neutro aditivo e, consequentemente, não há inversos aditivos para todos os vetores. - Além disso, a distributividade
falha porque o membro direito tem sempre segunda coordenada (pela definição da soma), enquanto o membro esquerdo tem segunda coordenada . Em geral esses não coincidem.
Resposta
Não:
com as operações dadas não é um espaço vetorial.
Axiomas que não se verificam:
Axiomas que não se verificam:
- existência do elemento neutro aditivo (vetor zero) para toda
; - existência de inversos aditivos para todos os vetores;
- distributividade de escalares sobre vetores
(falha em geral).