Seja V um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique se eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam. Para quaisquer (a, b); (c, d) em V e \alpha escalar real, sejam:
V=R^{2} ;(a, b)+(c, d)=(a+c, 0) e a multiplicação escalar usual.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • O conjunto é V=\mathbb{R}^2, isto é, todos os pares (a,b) com a,b\in\mathbb{R}.
  • A operação de adição está definida por
(a,b)+(c,d)=(a+c,\,0)\quad\text{para quaisquer }(a,b),(c,d)\in V.
  • A multiplicação por escalar é a usual: para \alpha\in\mathbb{R},
\alpha\,(a,b)=(\alpha a,\;\alpha b).
O que se pede: verificar se com essas operações V é um espaço vetorial. Se não for, indicar quais axiomas de espaço vetorial falham.

Passo 2

Primeiro, lembro de forma simples e clara o que significa verificar um axioma: cada propriedade que eu testar será escrita explicitamente e depois eu calculo com as definições dadas para ver se ela vale para todos os vetores e escalares. Vou checar, passo a passo, os axiomas principais (fecho, comutatividade, associatividade da adição; existência do elemento neutro aditivo; existência de inversos aditivos; fecho da multiplicação escalar; propriedades da multiplicação escalar relativas à soma de vetores, soma de escalares, produto de escalares e neutralidade do escalar 1).

Passo 3

Fecho da adição (se a soma de dois vetores de V fica em V).
Tomando (a,b),(c,d)\in V, a soma definida é (a+c,0). Esse par tem coordenadas reais, logo (a+c,0)\in\mathbb{R}^2=V.
Conclusão: o fecho da adição é satisfeito.

Passo 4

Comutatividade da adição.
Calculo
(a,b)+(c,d)=(a+c,0)
e
(c,d)+(a,b)=(c+a,0).
Como a+c=c+a em \mathbb{R}, os dois resultados coincidem.
Conclusão: a adição é comutativa.

Passo 5

Associatividade da adição.
Vou verificar ((a,b)+(c,d))+(e,f) e (a,b)+((c,d)+(e,f)).
Primeiro,
(a,b)+(c,d)=(a+c,0),
então
((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,0)+(e,f)=((a+c)+e,\,0)=(a+c+e,\,0).
Segundo,
(c,d)+(e,f)=(c+e,0),
então
(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a,b)+(c+e,0)=(a+(c+e),\,0)=(a+c+e,\,0).
Os dois lados são iguais.
Conclusão: a adição é associativa.

Passo 6

Existência do elemento neutro aditivo (vetor zero 0_V tal que v+0_V=v para todo v\in V).
Procuro (x,y)\in V tal que para todo (a,b)\in V,
(a,b)+(x,y)=(a,b).
Pelo definido,
(a,b)+(x,y)=(a+x,\,0).
Para que isso seja igual a (a,b) para todo (a,b) precisamos que
a+x=a\quad\text{e}\quad 0=b
para todo a,b. A primeira condição dá x=0, ok; a segunda exige b=0 para todo b\in\mathbb{R}, o que é impossível. Portanto não existe elemento (x,y) em V que seja neutro aditivo para todos os vetores.
Conclusão: o axioma da existência do elemento neutro aditivo falha.

Passo 7

Consequência: existência de inversos aditivos.
Um axioma exige que para cada v\in V exista w\in V tal que v+w=0_V (onde 0_V é o neutro aditivo). Como no passo anterior vimos que não existe um 0_V que funcione para todos os vetores, não faz sentido garantir a existência de inversos aditivos para todos os vetores. Em particular, não existem inversos aditivos uniformes para todos os vetores da forma exigida pelo axioma.
Conclusão: o axioma de inverso aditivo (existência de -v para todo v) também não é satisfeito.

Passo 8

Fecho da multiplicação por escalar.
Para \alpha\in\mathbb{R} e (a,b)\in V temos \alpha(a,b)=(\alpha a,\alpha b), que é um par de reais e portanto pertence a \mathbb{R}^2=V.
Conclusão: o fecho da multiplicação escalar é satisfeito.

Passo 9

Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de vetores: \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v.
Tomando u=(a,b) e v=(c,d),
u+v=(a+c,0),
logo
\alpha(u+v)=\alpha(a+c,0)=(\alpha(a+c),\,0).
Por outro lado,
\alpha u=(\alpha a,\alpha b),\quad \alpha v=(\alpha c,\alpha d),
e então
\alpha u+\alpha v=(\alpha a+\alpha c,\,0)=(\alpha(a+c),\,0).
Os dois lados coincidem para todos a,b,c,d,\alpha.
Conclusão: essa distributividade é satisfeita.

Passo 10

Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares: (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v.
Para v=(a,b) calculo os dois lados:
Lado esquerdo:
(\alpha+\beta)v=(\alpha+\beta)(a,b)=((\alpha+\beta)a,\,(\alpha+\beta)b).
Lado direito:
\alpha v=(\alpha a,\alpha b),\quad \beta v=(\beta a,\beta b),
então
\alpha v+\beta v=(\alpha a+\beta a,\,0)=((\alpha+\beta)a,\,0).
Comparando, o primeiro tem segunda coordenada (\alpha+\beta)b e o segundo tem segunda coordenada 0. Esses são iguais para todo v=(a,b) somente se (\alpha+\beta)b=0 para todo b, o que não é verdade em geral (por exemplo escolher b=1 e \alpha+\beta\neq 0). Logo, em geral
(\alpha+\beta)v \neq \alpha v+\beta v.
Conclusão: a propriedade (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v falha.

Passo 11

Compatibilidade com produto de escalares e neutralidade do escalar 1.
  • Compatibilidade: (\alpha\beta)v=(\alpha\beta a,\alpha\beta b). Também \alpha(\beta v)=\alpha(\beta a,\beta b)=(\alpha\beta a,\alpha\beta b). Logo essa propriedade vale.
  • Identidade do escalar: 1\cdot(a,b)=(1\cdot a,1\cdot b)=(a,b). Logo vale.

Passo 12

Resumo das verificações e interpretação final (motivação didática):
  • Algumas propriedades básicas da adição (fecho, comutatividade, associatividade) funcionam porque a definição usa soma de coordenadas na primeira componente e força a segunda a ser 0; isso preserva fechamento e dá comutatividade/associatividade.
  • O grande problema é que a soma sempre produz um vetor com segunda coordenada 0. Para existir um elemento neutro aditivo 0_V que satisfaça v+0_V=v para todo v, a soma teria de preservar a segunda coordenada de v; como a soma sempre coloca 0 na segunda coordenada, isso é impossível para vetores com segunda coordenada distinta de 0. Por isso não há neutro aditivo e, consequentemente, não há inversos aditivos para todos os vetores.
  • Além disso, a distributividade (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v falha porque o membro direito tem sempre segunda coordenada 0 (pela definição da soma), enquanto o membro esquerdo tem segunda coordenada (\alpha+\beta)b. Em geral esses não coincidem.

Resposta

Não: V com as operações dadas não é um espaço vetorial.
Axiomas que não se verificam:
  • existência do elemento neutro aditivo (vetor zero) para toda V;
  • existência de inversos aditivos para todos os vetores;
  • distributividade de escalares sobre vetores (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v (falha em geral).

Exercícios relacionados