Quais das seguintes são transformações lineares? L\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+y \\\ y \\\ x-z\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a aplicação linear (provavelmente de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3) definida por
A pergunta é: esta aplicação é uma transformação linear? (ou seja, satisfaz as propriedades de linearidade)]
Passo 2
O que significa “transformação linear”? Vou explicar devagar e com carinho:
Uma aplicação L é linear se, para quaisquer vetores u e v e qualquer escalar \alpha, valem as duas propriedades abaixo:
L(u+v)=L(u)+L(v)
L(\alpha u)=\alpha\,L(u).
Essas duas propriedades juntas garantem que L preserva combinações lineares. Uma forma prática de mostrar linearidade é exibir uma matriz A tal que L(v)=A v para todo v; toda aplicação dada por multiplicação por matriz é linear (vou justificar por que logo).
Passo 3
Vamos tentar escrever L como multiplicação por uma matriz. Se
Por que isso já prova a linearidade? Porque multiplicação por matriz preserva soma e multiplicação por escalar. Mais explicitamente, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar \alpha vale:
A(u+v)=Au+Av
e
A(\alpha u)=\alpha(Au).
Essas igualdades seguem da distributividade e associatividade da multiplicação de matrizes/vetores (é a mesma propriedade que você conhece para números, só em componentes). Como L(v)=A v, concluímos que L satisfaz as duas propriedades de linearidade.
Passo 5
Se quiser conferir de forma direta (sem matriz), dá para aplicar as definições componente a componente. Tome
Essas contas confirmam diretamente as duas propriedades de linearidade.]
Passo 6
Um teste rápido e necessário (mas não suficiente sozinho) é checar a imagem do vetor zero: L\!\left(\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix}. Aqui isso acontece, o que é coerente com linearidade — mas a prova completa foi feita pelos passos anteriores.]