Quais das seguintes são transformações lineares?
L\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+y \\\ y \\\ x-z\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a aplicação linear (provavelmente de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3) definida por
L\!\left(\begin{bmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}x+y\\[2pt]y\\[2pt]x-z\end{bmatrix}.
A pergunta é: esta aplicação é uma transformação linear? (ou seja, satisfaz as propriedades de linearidade)]

Passo 2

O que significa “transformação linear”? Vou explicar devagar e com carinho:
  • Uma aplicação L é linear se, para quaisquer vetores u e v e qualquer escalar \alpha, valem as duas propriedades abaixo:
L(u+v)=L(u)+L(v)
L(\alpha u)=\alpha\,L(u).
Essas duas propriedades juntas garantem que L preserva combinações lineares. Uma forma prática de mostrar linearidade é exibir uma matriz A tal que L(v)=A v para todo v; toda aplicação dada por multiplicação por matriz é linear (vou justificar por que logo).

Passo 3

Vamos tentar escrever L como multiplicação por uma matriz. Se
\begin{bmatrix}x+y\\[2pt]y\\[2pt]x-z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[2pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[2pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{bmatrix},
então igualando componentes obtemos:
  • primeira linha: a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = x+y \Rightarrow a_{11}=1,\;a_{12}=1,\;a_{13}=0.
  • segunda linha: a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = y \Rightarrow a_{21}=0,\;a_{22}=1,\;a_{23}=0.
  • terceira linha: a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = x-z \Rightarrow a_{31}=1,\;a_{32}=0,\;a_{33}=-1.
Logo a matriz associada é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[2pt] 0 & 1 & 0\\[2pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix},
e de fato
A\begin{bmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x+y\\[2pt]y\\[2pt]x-z\end{bmatrix}.]

Passo 4

Por que isso já prova a linearidade? Porque multiplicação por matriz preserva soma e multiplicação por escalar. Mais explicitamente, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar \alpha vale:
A(u+v)=Au+Av
e
A(\alpha u)=\alpha(Au).
Essas igualdades seguem da distributividade e associatividade da multiplicação de matrizes/vetores (é a mesma propriedade que você conhece para números, só em componentes). Como L(v)=A v, concluímos que L satisfaz as duas propriedades de linearidade.

Passo 5

Se quiser conferir de forma direta (sem matriz), dá para aplicar as definições componente a componente. Tome
u=\begin{bmatrix}x_1\\[2pt]y_1\\[2pt]z_1\end{bmatrix},\qquad v=\begin{bmatrix}x_2\\[2pt]y_2\\[2pt]z_2\end{bmatrix}, \qquad \alpha\in\mathbb{R}.
Calcule L(u+v):
L\!\left(\begin{bmatrix}x_1+x_2\\[2pt]y_1+y_2\\[2pt]z_1+z_2\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix}(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\\[2pt]y_1+y_2\\[2pt](x_1+x_2)-(z_1+z_2)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_1+y_1\\[2pt]y_1\\[2pt]x_1-z_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}x_2+y_2\\[2pt]y_2\\[2pt]x_2-z_2\end{bmatrix} = L(u)+L(v).
E calcule L(\alpha u):
L\!\left(\begin{bmatrix}\alpha x_1\\[2pt]\alpha y_1\\[2pt]\alpha z_1\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix}\alpha x_1+\alpha y_1\\[2pt]\alpha y_1\\[2pt]\alpha x_1-\alpha z_1\end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix}x_1+y_1\\[2pt]y_1\\[2pt]x_1-z_1\end{bmatrix} = \alpha L(u).
Essas contas confirmam diretamente as duas propriedades de linearidade.]

Passo 6

Um teste rápido e necessário (mas não suficiente sozinho) é checar a imagem do vetor zero: L\!\left(\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix}. Aqui isso acontece, o que é coerente com linearidade — mas a prova completa foi feita pelos passos anteriores.]

Resposta

Sim. A aplicação é linear; a matriz associada é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[2pt] 0 & 1 & 0\\[2pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.]

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