Calcular as seguintes integrais triplas: \int_{0}^{2} \int_{0}^{2 \sqrt{x}} \int_{0}^{\frac{\sqrt{4 x-y^{2}}}{2}} x d z d y d x.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla
\int_{0}^{2} \int_{0}^{2 \sqrt{x}} \int_{0}^{\frac{\sqrt{4 x-y^{2}}}{2}} x \, d z \, d y \, d x.
Informações fornecidas:
Variável de integração mais interna: z, com limite inferior 0 e limite superior \dfrac{\sqrt{4x-y^{2}}}{2}.
Variável do meio: y, com limite 0 até 2\sqrt{x}.
Variável externa: x, com limite 0 até 2.
Integrando: x (note que não depende de z nem de y explicitamente).
O objetivo é avaliar essa integral passo a passo até obter o valor numérico final.
Passo 2
Primeira operação: integrar em relação a z. Aqui x é constante quando integramos em z, então podemos usar a regra básica
\int_{0}^{a} x \, d z = x\cdot a,
onde a é o limite superior em z.
No nosso caso a=\dfrac{\sqrt{4x-y^{2}}}{2}. Portanto a integral interna dá
\int_{0}^{\frac{\sqrt{4x-y^{2}}}{2}} x \, d z = x\cdot \frac{\sqrt{4x-y^{2}}}{2}.
Passo 3
Substituindo o resultado da integração em z na integral original obtemos uma dupla integral em y e x:
\int_{0}^{2} \int_{0}^{2\sqrt{x}} x\cdot \frac{\sqrt{4x-y^{2}}}{2}\, d y \, d x = \frac{1}{2}\int_{0}^{2}\int_{0}^{2\sqrt{x}} x\,\sqrt{4x-y^{2}}\, d y \, d x.
Posso tirar x (dependendo só de x) para fora da integral em y quando conveniente; por enquanto deixo assim para clareza.
Passo 4
Agora precisamos calcular a integral em y
I(x)=\int_{0}^{2\sqrt{x}} \sqrt{4x-y^{2}}\, d y.
Esta é uma integral-padrão do tipo \int \sqrt{a^{2}-y^{2}}\,dy com a^{2}=4x, isto é a=2\sqrt{x}. Vou derivar a fórmula rápida usando uma substituição trigonométrica, que é a maneira didática de entender:
Voltando para a variável y: \theta=\arcsin\!\big(\dfrac{y}{a}\big) e \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\cdot\dfrac{y}{a}\cdot\dfrac{\sqrt{a^{2}-y^{2}}}{a}=\dfrac{2y\sqrt{a^{2}-y^{2}}}{a^{2}}. Assim a primitive é
\int \sqrt{a^{2}-y^{2}}\,dy = \frac{y}{2}\sqrt{a^{2}-y^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\arcsin\!\left(\frac{y}{a}\right) + C.
Aplicando essa fórmula com a=2\sqrt{x} e avaliando de y=0 a y=2\sqrt{x}:
No limite superior y=2\sqrt{x}=a: \sqrt{a^{2}-y^{2}}=0 e \arcsin\!\left(\dfrac{y}{a}\right)=\arcsin(1)=\dfrac{\pi}{2}. Então a expressão dá
No limite inferior y=0: tanto o primeiro termo quanto o arco seno são zero.
Como a^{2}=4x, temos
I(x)=\int_{0}^{2\sqrt{x}} \sqrt{4x-y^{2}}\,d y = \frac{(4x)\pi}{4} = x\pi.
Portanto a integral em y deu x\pi. (Legal: ficou uma expressão simples em x.)
Passo 5
Substituindo I(x)=x\pi na expressão da Passo 3:
\frac{1}{2}\int_{0}^{2} x\cdot I(x)\, d x = \frac{1}{2}\int_{0}^{2} x\cdot (x\pi)\, d x = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{2} x^{2}\, d x.
Agora integramos x^{2}:
\int_{0}^{2} x^{2}\, d x = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{2} = \frac{8}{3}.
Multiplicando:
\frac{\pi}{2}\cdot \frac{8}{3} = \frac{4\pi}{3}.
Passo 6
Interpretação final rápida (modo amiga animadora): apesar do aspecto meio feioso da região (raízes e quadrados), a integral interna em z simplificou muito e a integral em y é um padrão geométrico que leva a \pi — daí aparecer \pi no resultado. Você está indo bem!