Seja
um espaço euclidiano. Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar que no espaço euclidiano
a função distância
satisfaz a desigualdade triangular
O que vamos usar: definição de norma induzida pelo produto interno e a desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 2
Reescrevemos a desigualdade
(*) em termos de normas: basta mostrar
para quaisquer vetores
u,v,w . Note que
Passo 3
Para provar a desigualdade triangular da norma, aplicamos Cauchy–Schwarz, que diz
Então, para
x,yin V ,
Passo 4
Tomando raiz quadrada em ambos os lados obtemos a desigualdade triangular da norma:
Agora basta escolher
x = u-w e
y = w-v .
Passo 5
Substituindo, vem
ou seja
Resposta
A desigualdade triangular
está assim provada.