Seja V um espaço euclidiano. Prove que:
d(u, v) <= d(u, w)+d(w, v), forall u, v, w in V

Passo 1

O enunciado pede para provar que no espaço euclidiano V a função distância
d(u,v)=|u-v|
satisfaz a desigualdade triangular
tag* d(u,v)<= d(u,w)+d(w,v)forall,u,v,win V
O que vamos usar: definição de norma induzida pelo produto interno e a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Reescrevemos a desigualdade (*) em termos de normas: basta mostrar
|u-v|<=|u-w|+|w-v|
para quaisquer vetores u,v,w. Note que
u-v = (u-w) + (w-v)

Passo 3

Para provar a desigualdade triangular da norma, aplicamos Cauchy–Schwarz, que diz
lang<= x,yrang<= <= |x|,|y| forall,x,yin V
Então, para x,yin V,
|x+y|^2 =lang<= x+y,,x+yrang<= =|x|^2 + 2lang<= x,yrang<= + |y|^2 <= |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 =(|x|+|y|)^2

Passo 4

Tomando raiz quadrada em ambos os lados obtemos a desigualdade triangular da norma:
|x+y|<= |x| + |y|
Agora basta escolher x = u-w e y = w-v.

Passo 5

Substituindo, vem
|u-v| = |(u-w)+(w-v)| <= |u-w| + |w-v|,
ou seja
d(u,v)<= d(u,w)+d(w,v)

Resposta

A desigualdade triangular
d(u,v)<= d(u,w)+d(w,v)
está assim provada.

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