Seja V um espaço euclidiano. Prove que:
d(u, v)=0 se, e somente se, u=v

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço euclidiano, ou seja, temos em V um produto interno lang<=cdot,cdotrang<= que satisfaz a positividade definida:
lang<= x,xrang<=>=0elang<= x,xrang<==0iff x=0
A partir dele definimos a norma
lVert xrVert=raizlang<= x,xrang<=
e a distância
d(u,v)=lVert u-vrVert
Queremos provar a propriedade de positividade da métrica:
d(u,v)=0iff u=v

Passo 2

(Se) Suponha u=v. Então
u-v=0
e consequentemente
d(u,v)=lVert u-vrVert=lVert 0rVert=raizlang<=0,0rang<==raiz0=0

Passo 3

(Apenas se) Suponha d(u,v)=0. Então
lVert u-vrVert=0
implica
raizlang<= u-v,u-vrang<==0
e, como raizz=0 se e somente se z=0, temos
lang<= u-v,u-vrang<==0
Pela positividade definida do produto interno segue u-v=0, isto é, u=v.

Resposta

Portanto, em todo espaço euclidiano V vale
d(u,v)=0iff u=v

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