Seja
um espaço euclidiano. Prove que:
se, e somente se,
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço euclidiano, ou seja, temos em
um produto interno
que satisfaz a positividade definida:
A partir dele definimos a norma
e a distância
Queremos provar a propriedade de positividade da métrica:
Passo 2
(Se) Suponha
. Então
e consequentemente
Passo 3
(Apenas se) Suponha
. Então
implica
e, como
se e somente se
, temos
Pela positividade definida do produto interno segue
, isto é,
.
Resposta
Portanto, em todo espaço euclidiano
vale