Seja V um espaço euclidiano. Prove que:
d(u, v)=d(v, u), forall u, v in V

Passo 1

O enunciado considera V um espaço euclidiano, em que está definida a distância
d(u,v)=|u - v|
para quaisquer u,vin V. O que queremos mostrar é a propriedade de simetria
d(u,v)=d(v,u),forall u,vin V

Passo 2

Lembrando que em um espaço euclidiano definimos a norma de um vetor x por
|x| = raizlang<= x,xrang<=,
onde lang<=cdot,cdotrang<= é o produto interno. A distância entre u e v é então
d(u,v)=|u-v|

Passo 3

Observamos que
u - v = -(v - u)
Substituindo na definição de d, obtemos
d(u,v)=|u-v|=|-(v-u)|

Passo 4

Usamos agora a propriedade de homogeneidade absoluta da norma: para todo escalar alpha e todo vetor x vale
|alpha,x| = |alpha|,|x|
Em particular, para alpha=-1 temos
|-(v-u)| = |-1|,|v-u| = |v-u|
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d(u,v)=|v-u|=d(v,u)

Resposta

Foi demonstrado que ,d(u,v)=d(v,u), para todos u,vin V.

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