Seja
um espaço euclidiano. Prove que:
Passo 1
O enunciado considera
um espaço euclidiano, em que está definida a distância
para quaisquer
. O que queremos mostrar é a propriedade de simetria
Passo 2
Lembrando que em um espaço euclidiano definimos a norma de um vetor
por
onde
é o produto interno. A distância entre
e
é então
Passo 3
Observamos que
Substituindo na definição de
, obtemos
Passo 4
Usamos agora a propriedade de homogeneidade absoluta da norma: para todo escalar
e todo vetor
vale
Em particular, para
temos
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Resposta
Foi demonstrado que
para todos
.