Seja V um espaço linear e T: V V uma transformação linear.
(a) Mostre que se T^2=T então I(T) cap N(T)=0.
(b) Dê um exemplo de uma transformação linear T: V V tal que I(T) cap N(T) neq0.

Passo 1

No enunciado temos um espaço vetorial V e uma transformação linear Tcolon Vto V que satisfaz T^2=T. O objetivo de (a) é mostrar que
I(T)capN(T)=0.
Em (b) precisamos dar um exemplo de T tal que essa interseção seja não nula.

Passo 2

Seja yin I(T)capN(T). Como yinI(T), existe xin V tal que y=T(x).
Como yinN(T), temos T(y)=0. Mas usando T^2=T vem
T(y)=Tl(T(x)r)=T^2(x)=T(x)=y,
logo y=0. Isso mostra que a interseção contém apenas o vetor nulo.

Passo 3

Para (b) tomemos V=R^2 e definamos a aplicação linear
TcolonR^2toR^2, T(x,y)=(0,x)

Passo 4

Calculamos os subespaços:
I(T)=(0,x)mid(x,y)inR^2 =(0,t)mid tinR=span(0,1),
N(T)=(x,y)mid T(x,y)=(0,0) implies x=0 impliesN(T)=(0,y)mid yinR=span(0,1)
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I(T)capN(T)=span(0,1)neq0.

Resposta

(a) I(T)capN(T)=0.
(b) Um exemplo é TcolonR^2toR^2 dado por T(x,y)=(0,x), para o qual
I(T)capN(T)=span(0,1)neq0.

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